Номер 74, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Нахождение первообразной функции $f(x) = 2x + 4$, график которой касается прямой $y = 6x + 3$.

Первым шагом найдем общее выражение для первообразной функции $f(x) = 2x + 4$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (2x + 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, которую нам необходимо найти.

По условию, график первообразной $y = F(x)$ касается прямой $y = 6x + 3$. В точке касания $(x_0, y_0)$ должны выполняться два условия:
1. Значения функций равны: $F(x_0) = y_0$.
2. Значения производных равны (угловые коэффициенты касательных совпадают): $F'(x_0) = k$, где $k$ — угловой коэффициент прямой $y = 6x + 3$.

Производная первообразной $F(x)$ есть исходная функция $f(x)$: $F'(x) = (x^2 + 4x + C)' = 2x + 4 = f(x)$.

Угловой коэффициент касательной к прямой $y = 6x + 3$ равен 6. Приравниваем производную к этому значению, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$F'(x_0) = 2x_0 + 4 = 6$
$2x_0 = 6 - 4$
$2x_0 = 2$
$x_0 = 1$

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 1$ в уравнение прямой:

$y_0 = 6(1) + 3 = 9$

Таким образом, точка касания — $(1, 9)$. Эта точка принадлежит и графику первообразной $y = F(x)$. Подставим координаты этой точки в уравнение первообразной, чтобы найти $C$:

$F(1) = 1^2 + 4(1) + C = 9$
$1 + 4 + C = 9$
$5 + C = 9$
$C = 4$

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = x^2 + 4x + 4$, что можно также записать как $F(x) = (x+2)^2$.

Ответ: Искомая первообразная: $F(x) = x^2 + 4x + 4$.

2. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной $y = x^2 + 4x + 4$ и прямыми $y = 6x + 3$ и $y = 0$.

Фигура ограничена тремя линиями:
1. Парабола: $y = (x+2)^2$
2. Прямая: $y = 6x + 3$
3. Ось абсцисс: $y = 0$

Найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить границы фигуры:
• Пересечение параболы с осью $y=0$: $(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.
• Пересечение прямой $y=6x+3$ с осью $y=0$: $6x+3 = 0 \implies x = -1/2$. Точка $(-0.5, 0)$.
• Пересечение параболы и прямой $y=6x+3$: это точка их касания, которую мы уже нашли — $(1, 9)$.

Фигура представляет собой криволинейный треугольник с вершинами в точках $(-2, 0)$, $(-0.5, 0)$ и $(1, 9)$.

Площадь $S$ этой фигуры можно найти как разность площади под параболой $y=(x+2)^2$ на отрезке $[-2, 1]$ и площади под прямой $y=6x+3$ на отрезке $[-0.5, 1]$.

$S = \int_{-2}^{1} (x+2)^2 dx - \int_{-0.5}^{1} (6x+3) dx$

Вычислим первый интеграл (площадь под параболой):

$\int_{-2}^{1} (x+2)^2 dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{1}$
$= \left( \frac{1^3}{3} + 2(1)^2 + 4(1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2) \right)$
$= \left( \frac{1}{3} + 2 + 4 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 8 - 8 \right) = \frac{19}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{19+8}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Вычислим второй интеграл (площадь под прямой, которая является площадью прямоугольного треугольника):

$\int_{-0.5}^{1} (6x+3) dx = \left[ 3x^2 + 3x \right]_{-0.5}^{1}$
$= (3(1)^2 + 3(1)) - (3(-0.5)^2 + 3(-0.5)) = (3+3) - (3(0.25) - 1.5) = 6 - (0.75 - 1.5) = 6 - (-0.75) = 6.75 = \frac{27}{4}$

Теперь найдем искомую площадь $S$:

$S = 9 - \frac{27}{4} = \frac{36}{4} - \frac{27}{4} = \frac{9}{4}$

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{9}{4}$ квадратных единиц.