Номер 5, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы найти первообразную функции $y(x) = x^2 - 2x$, которая проходит через точку A(-1; -1), необходимо выполнить два шага: сначала найти общий вид первообразной, а затем, используя координаты точки, найти значение константы интегрирования $C$.

1. Нахождение общего вида первообразной

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $y(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла:

$F(x) = \int y(x) dx = \int (x^2 - 2x) dx$

Используем основную формулу интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int x^2 dx - \int 2x dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2\frac{x^{1+1}}{1+1} + C$

Выполнив вычисления, получаем:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} - x^2 + C$

Это выражение является общим видом для всех первообразных данной функции, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Определение значения константы C

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку A(-1; -1). Это означает, что при $x = -1$, значение функции $F(x)$ равно -1, то есть $F(-1) = -1$. Подставим эти значения в полученное общее уравнение для первообразной:

$-1 = \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + C$

Вычислим значения степеней:

$-1 = \frac{-1}{3} - 1 + C$

Теперь решим уравнение относительно $C$:

$-1 + 1 = -\frac{1}{3} + C$

$0 = -\frac{1}{3} + C$

$C = \frac{1}{3}$

3. Запись итоговой функции

Подставим найденное значение $C = \frac{1}{3}$ в общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{1}{3}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом C.

Ответ: C. $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{1}{3}$