Номер 4, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, необходимо, чтобы на этом промежутке выполнялось равенство $F'(x) = f(x)$.

Найдем производную от функции $F(x) = \frac{3}{x-2}$. Для удобства представим ее в виде степенной функции: $F(x) = 3(x-2)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$F'(x) = (3(x-2)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-1-1} \cdot (x-2)' = -3(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x-2)^2}$.

Мы видим, что найденная производная $F'(x)$ в точности совпадает с функцией $f(x) = -\frac{3}{(x-2)^2}$.

Таким образом, равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется.

Однако, по определению, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на заданном интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Функция $F(x) = \frac{3}{x-2}$ не определена и, следовательно, не дифференцируема в точке $x = 2$, так как знаменатель обращается в ноль. Это означает, что $F(x)$ может быть первообразной для $f(x)$ только на тех промежутках, которые не содержат точку $x = 2$.

Проанализируем предложенные варианты:

A. $(-\infty; 0)$

Этот интервал не содержит точку $x=2$. На всем этом интервале $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$. Значит, здесь $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

B. $(2; +\infty)$

Этот интервал также не содержит точку $x=2$. На всем этом интервале $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$. Значит, здесь $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

C. $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

Это множество является областью определения для $F(x)$ и $f(x)$. Хотя в каждой точке этого множества $F'(x)=f(x)$, оно не является единым непрерывным интервалом, а представляет собой объединение двух интервалов. По строгой теореме, первообразная определяется на интервале.

D. $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$

Это множество является объединением двух интервалов. Рассмотрим второй интервал: $(-2; 4)$. Этот интервал содержит точку $x=2$, в которой функция $F(x)$ не определена и не дифференцируема. Следовательно, на интервале $(-2; 4)$ функция $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$. А раз это так для части множества, то и для всего множества $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$ она не является первообразной.

Вопрос ставится о том, на каком из предложенных промежутков функция не является первообразной. Вариант D — единственный, который содержит точку разрыва $x=2$.

Ответ: D. $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$.