Номер 3, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы определить, на каком рисунке изображен график первообразной функции, необходимо вспомнить определение первообразной и ее геометрический смысл.

Первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке называется такая функция $F(x)$, что для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Из определения следует, что если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ имеет вид $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Это означает, что все первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на константу.

Геометрически это свойство выражается в том, что графики всех первообразных для данной функции представляют собой семейство кривых, которые получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат ($Oy$). Важным следствием является то, что касательные к графикам всех первообразных в точках с одинаковой абсциссой $x_0$ параллельны друг другу, так как их угловой коэффициент равен одному и тому же числу $f(x_0)$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

A

На данном рисунке изображен график одной функции. У этой функции есть точки излома (острые углы), в которых она не дифференцируема. Кроме того, это не семейство кривых, а график одной функции.

B

Здесь также изображен график одной функции, имеющей точки излома, в которых производная не существует. Этот график не представляет собой семейство кривых, полученных параллельным переносом.

C

На этом рисунке мы видим семейство гладких кривых. Каждая кривая получается из другой сдвигом по вертикали. Касательные к этим кривым в точках с одинаковой абсциссой параллельны. Такое изображение в точности соответствует геометрическому смыслу совокупности всех первообразных для некоторой функции.

D

График, представленный на этом рисунке, имеет разрывы (скачки). Первообразная функция по определению является дифференцируемой, а любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Следовательно, функция с разрывами не может быть первообразной.

Таким образом, единственный график, который корректно изображает семейство первообразных функций, — это график на рисунке C.

Ответ: C