Номер 6, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген функция $f(x) = 5\sin(0.5x)$. Осы функцияның алғашқы функциясын табу үшін интегралдаудың (алғашқы функцияны табудың) негізгі ережелерін қарастырайық.

Алғашқы функцияны табу $F(x) = \int f(x) dx$ интегралын есептеуді білдіреді. Демек, біз $\int 5\sin(0.5x) dx$ интегралын табуымыз керек.

Математикалық анализде алғашқы функцияны табудың келесі негізгі ережелері бар:

1-ереже: Қосындының (айырымның) алғашқы функциясы. Егер $F(x)$ және $G(x)$ сәйкесінше $f(x)$ және $g(x)$ функцияларының алғашқы функциялары болса, онда $f(x) \pm g(x)$ функциясының алғашқы функциясы $F(x) \pm G(x)$ болады. Берілген $5\sin(0.5x)$ функциясы қосынды немесе айырым түрінде емес, сондықтан бұл ереже қолданылмайды.

2-ереже: Тұрақты көбейткішті шығару ережесі. Егер $F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы болса, онда $k \cdot f(x)$ функциясының алғашқы функциясы $k \cdot F(x)$ болады. Яғни, $\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$.

Біздің жағдайда $f(x) = 5\sin(0.5x)$, мұнда $k=5$ тұрақты көбейткіш болып табылады. Осы ережені қолданып, тұрақтыны интеграл таңбасының алдына шығарамыз:

$\int 5\sin(0.5x) dx = 5 \int \sin(0.5x) dx$

Осылайша, 2-ереже қолданылады.

3-ереже: Күрделі функцияның алғашқы функциясын табу ережесі. Егер $F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы болса, онда $f(kx+b)$ түріндегі күрделі функцияның алғашқы функциясы $\frac{1}{k}F(kx+b)$ болады. Формула түрінде: $\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k}F(kx+b) + C$.

Біздің интегралдың ішінде $\sin(0.5x)$ функциясы бар. Бұл $f(u)=\sin u$ және ішкі функциясы $u=0.5x$ болатын күрделі функция. Мұнда $k=0.5$ және $b=0$. $\sin x$ функциясының алғашқы функциясы $-\cos x$ екенін білеміз. Ендеше, 3-ережені қолданамыз:

$\int \sin(0.5x) dx = \frac{1}{0.5}(-\cos(0.5x)) + C = -2\cos(0.5x) + C$

Осылайша, 3-ереже де қолданылады.

Сонымен, $f(x) = 5\sin(0.5x)$ функциясының толық алғашқы функциясын табу үшін екі ережені де қолдану қажет:

$F(x) = 5 \int \sin(0.5x) dx = 5 \cdot (-2\cos(0.5x)) + C = -10\cos(0.5x) + C$.

Қорытындылай келе, берілген функцияның алғашқы функциясын жазу үшін 2-ереже (тұрақты көбейткішті шығару) және 3-ереже (күрделі функцияны интегралдау) қолданылады.

Ответ: С. 2- және 3-ереже.