Номер 12, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти точки пересечения кривых.

Для нахождения пределов интегрирования приравняем уравнения функций:
$x^2 - 4x + 5 = 5$
$x^2 - 4x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 4) = 0$
Отсюда получаем абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

2. Определить, какая из функций больше на интервале интегрирования.

Фигура ограничена по оси $x$ от 0 до 4. Чтобы определить, какая кривая находится выше, выберем любую точку из интервала $(0, 4)$, например, $x=2$:
Для параболы $y = x^2 - 4x + 5$: $y(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
Для прямой $y = 5$: $y(2) = 5$.
Так как $5 > 1$, на интервале $(0, 4)$ прямая $y=5$ расположена выше параболы $y = x^2 - 4x + 5$.

На графике искомая площадь закрашена.

3. Вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ фигуры, ограниченной кривыми $f_{верх}(x)$ и $f_{ниж}(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) dx$
Подставим наши данные: $a=0$, $b=4$, $f_{верх}(x) = 5$ и $f_{ниж}(x) = x^2 - 4x + 5$.
$S = \int_{0}^{4} [5 - (x^2 - 4x + 5)] dx$
Упростим подынтегральное выражение:
$S = \int_{0}^{4} (5 - x^2 + 4x - 5) dx = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$
Найдем первообразную и вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = [4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
Подставим пределы интегрирования:
$S = (2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3}) - (2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3})$
$S = (2 \cdot 16 - \frac{64}{3}) - 0$
$S = 32 - \frac{64}{3}$
Приведем к общему знаменателю:
$S = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}$
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
$S = 10 \frac{2}{3}$

Ответ: $10 \frac{2}{3}$