Номер 2, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген $f(x) = 5x^4 - 2x$ функциясы үшін алғашқы функцияны табу керек. Алғашқы функция $F(x)$ деп, оның туындысы $f(x)$-ке тең болатын функцияны айтады. Яғни, $F'(x) = f(x)$ шарты орындалуы тиіс.

Бұл есепті шығарудың екі тәсілі бар: берілген функцияны интегралдау арқылы жалпы алғашқы функцияны табу, немесе ұсынылған нұсқалардың әрқайсысының туындысын тауып, $f(x)$-пен салыстыру.

1-тәсіл: Интегралдау

$f(x)$ функциясының алғашқы функциясын табу үшін оны интегралдаймыз. Дәрежелік функцияны интегралдаудың негізгі формуласы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (5x^4 - 2x) dx = \int 5x^4 dx - \int 2x dx$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C$

$F(x) = x^5 - x^2 + C$

Мұндағы $C$ — кез келген тұрақты сан. Алынған $F(x) = x^5 - x^2 + C$ жалпы формуласын ұсынылған нұсқалармен салыстырамыз. Егер $C=0$ болса, біз D нұсқасындағы $F(x) = x^5 - x^2$ функциясын аламыз.

2-тәсіл: Дифференциалдау арқылы тексеру

Әр нұсқаның туындысын тауып, оның $f(x) = 5x^4 - 2x$ функциясына тең екенін тексереміз.

A. $F(x) = 20x^4 + 8$. Туындысы: $F'(x) = (20x^4 + 8)' = 20 \cdot 4x^3 + 0 = 80x^3$. Бұл $f(x)$-ке тең емес.

B. $F(x) = x^5 + x^2$. Туындысы: $F'(x) = (x^5 + x^2)' = 5x^4 + 2x$. Бұл $f(x)$-ке тең емес (екінші мүшенің таңбасы қате).

C. $F(x) = 20x^4 - 8$. Туындысы: $F'(x) = (20x^4 - 8)' = 20 \cdot 4x^3 - 0 = 80x^3$. Бұл $f(x)$-ке тең емес.

D. $F(x) = x^5 - x^2$. Туындысы: $F'(x) = (x^5 - x^2)' = 5x^4 - 2x$. Бұл $f(x)$-ке толығымен сәйкес келеді.

Екі тәсіл де D нұсқасының дұрыс жауап екенін растайды.

Ответ: D.