Страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

79. 1)

Для решения данного выражения $ \frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{486}} + \sqrt[3]{27 \cdot 2^6} $ выполним действия по шагам.

1. Упростим первое слагаемое, используя свойства корней $ \frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}} $:

$ \frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{486}} = \sqrt[4]{\frac{2 \cdot 3}{486}} = \sqrt[4]{\frac{6}{486}} $

2. Сократим дробь под корнем: $ \frac{6}{486} = \frac{1}{81} $.

3. Вычислим значение корня: $ \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3} $, так как $ 3^4 = 81 $.

4. Упростим второе слагаемое, используя свойство $ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $:

$ \sqrt[3]{27 \cdot 2^6} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{3^3} \cdot (2^6)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{6}{3}} = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 $.

5. Сложим полученные результаты:

$ \frac{1}{3} + 12 = 12\frac{1}{3} $.

Ответ: $ 12\frac{1}{3} $

2)

Для решения выражения $ \sqrt[3]{216 \cdot 7^3} - \sqrt[5]{\frac{32}{243}} $ выполним действия по шагам.

1. Упростим уменьшаемое $ \sqrt[3]{216 \cdot 7^3} $:

$ \sqrt[3]{216 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{7^3} = \sqrt[3]{6^3} \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42 $.

2. Упростим вычитаемое $ \sqrt[5]{\frac{32}{243}} $:

$ \sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}} = \frac{\sqrt[5]{2^5}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{2}{3} $.

3. Выполним вычитание:

$ 42 - \frac{2}{3} = 41 + 1 - \frac{2}{3} = 41 + \frac{3-2}{3} = 41\frac{1}{3} $.

Ответ: $ 41\frac{1}{3} $

3)

Для решения выражения $ \sqrt[3]{27 \cdot 4^3} - \sqrt{\frac{81}{256}} $ выполним действия по шагам.

1. Упростим уменьшаемое $ \sqrt[3]{27 \cdot 4^3} $:

$ \sqrt[3]{27 \cdot 4^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12 $.

2. Упростим вычитаемое (квадратный корень) $ \sqrt{\frac{81}{256}} $:

$ \sqrt{\frac{81}{256}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{256}} = \frac{9}{16} $, так как $ 9^2 = 81 $ и $ 16^2 = 256 $.

3. Выполним вычитание:

$ 12 - \frac{9}{16} = 11 + 1 - \frac{9}{16} = 11 + \frac{16-9}{16} = 11\frac{7}{16} $.

Ответ: $ 11\frac{7}{16} $

4)

Для решения выражения $ 5 - \left( 3 \cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}} + \sqrt[3]{0,125} \right) $ выполним действия по порядку.

1. Сначала вычислим значение выражения в скобках. Найдем значение первого слагаемого в скобках: $ 3 \cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}} $.

$ \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2}{3} $.

Следовательно, $ 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 $.

2. Найдем значение второго слагаемого в скобках: $ \sqrt[3]{0,125} $.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} $.

$ \sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2} = 0,5 $.

3. Сложим полученные значения в скобках:

$ 2 + 0,5 = 2,5 $.

4. Выполним вычитание:

$ 5 - 2,5 = 2,5 $.

Ответ: $ 2,5 $

1) $1 - \sqrt{2\frac{7}{9}} + 0,3 \cdot \sqrt[4]{256}$
Выполним решение по шагам:
1. Вычислим значение квадратного корня. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$ \sqrt{2\frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9 + 7}{9}} = \sqrt{\frac{18 + 7}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} $.
2. Вычислим значение корня четвертой степени:$ \sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^4} = 4 $.
3. Подставим найденные значения в исходное выражение:$ 1 - \frac{5}{3} + 0,3 \cdot 4 = 1 - \frac{5}{3} + 1,2 $.
4. Для удобства вычислений представим все числа в виде обыкновенных дробей и приведем их к общему знаменателю 15:$ 1 - \frac{5}{3} + \frac{12}{10} = 1 - \frac{5}{3} + \frac{6}{5} = \frac{15}{15} - \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{15}{15} - \frac{25}{15} + \frac{18}{15} = \frac{15 - 25 + 18}{15} = \frac{8}{15} $.
Ответ: $\frac{8}{15}$.

2) $2 \cdot \sqrt{1\frac{11}{25}} - 1\frac{2}{5} + 0,7 \cdot \sqrt[3]{0,216}$
Выполним решение по шагам:
1. Вычислим значение квадратного корня:$ \sqrt{1\frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 25 + 11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} $.
2. Вычислим значение кубического корня:$ \sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{(0,6)^3} = 0,6 $.
3. Подставим найденные значения в исходное выражение:$ 2 \cdot \frac{6}{5} - 1\frac{2}{5} + 0,7 \cdot 0,6 $.
4. Выполним умножение и преобразуем все числа в десятичные дроби:$ \frac{12}{5} - 1,4 + 0,42 = 2,4 - 1,4 + 0,42 $.
5. Выполним сложение и вычитание:$ 2,4 - 1,4 + 0,42 = 1 + 0,42 = 1,42 $.
Ответ: $1,42$.

3) $11 : (0,15 \cdot \sqrt[3]{64000} - 0,29 \cdot \sqrt[3]{8000})$
Выполним решение по шагам:
1. Сначала выполним действия в скобках. Вычислим значения кубических корней:$ \sqrt[3]{64000} = \sqrt[3]{64 \cdot 1000} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 10^3} = 4 \cdot 10 = 40 $.
$ \sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{8 \cdot 1000} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10^3} = 2 \cdot 10 = 20 $.
2. Подставим значения корней в выражение в скобках и выполним умножение:$ 0,15 \cdot 40 - 0,29 \cdot 20 = 6 - 5,8 $.
3. Выполним вычитание в скобках:$ 6 - 5,8 = 0,2 $.
4. Теперь выполним деление:$ 11 : 0,2 = 11 : \frac{2}{10} = 11 \cdot \frac{10}{2} = 11 \cdot 5 = 55 $.
Ответ: $55$.

4) $2,5 \cdot \sqrt[4]{10000} + \frac{3}{4} \sqrt{1,44} - 2,09 : \sqrt[3]{1,331}$
Выполним решение по шагам:
1. Вычислим значения корней:$ \sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10 $.
$ \sqrt{1,44} = \sqrt{(1,2)^2} = 1,2 $.
$ \sqrt[3]{1,331} = \sqrt[3]{(1,1)^3} = 1,1 $.
2. Подставим найденные значения в исходное выражение:$ 2,5 \cdot 10 + \frac{3}{4} \cdot 1,2 - 2,09 : 1,1 $.
3. Выполним действия умножения и деления в порядке их следования:$ 2,5 \cdot 10 = 25 $.
$ \frac{3}{4} \cdot 1,2 = 0,75 \cdot 1,2 = 0,9 $.
$ 2,09 : 1,1 = 1,9 $.
4. Подставим результаты в выражение и выполним сложение и вычитание:$ 25 + 0,9 - 1,9 = 25,9 - 1,9 = 24 $.
Ответ: $24$.

81. 1) $\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}}$

Для решения используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и формулу сокращенного умножения "разность квадратов" $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 + \sqrt{37})(8 - \sqrt{37})} = \sqrt[3]{8^2 - (\sqrt{37})^2} = \sqrt[3]{64 - 37} = \sqrt[3]{27}$.

Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: $3$.

2) $\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}$

Решение аналогично предыдущему примеру. Применяем свойство произведения корней и формулу разности квадратов.

$\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}} = \sqrt[3]{(7 - \sqrt{41})(7 + \sqrt{41})} = \sqrt[3]{7^2 - (\sqrt{41})^2} = \sqrt[3]{49 - 41} = \sqrt[3]{8}$.

Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: $2$.

3) $(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 \cdot 0,2^{-2}$

Вычислим значение каждого множителя по отдельности.

Для первого множителя используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} + (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = (3 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} + (3 + \sqrt{5})$.

Упрощаем выражение: $3 - \sqrt{5} + 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} + 3 + \sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{9 - 5} = 6 + 2\sqrt{4} = 6 + 2 \cdot 2 = 10$.

Теперь вычислим второй множитель. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$0,2^{-2} = (\frac{2}{10})^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$.

Наконец, перемножим полученные результаты:

$10 \cdot 25 = 250$.

Ответ: $250$.

4) $(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 \cdot (\frac{2}{3})^{-1}$

Вычислим значение каждого множителя по отдельности.

Для первого множителя используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 = (\sqrt{6 - \sqrt{11}})^2 - 2 \cdot \sqrt{6 - \sqrt{11}} \cdot \sqrt{6 + \sqrt{11}} + (\sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 = (6 - \sqrt{11}) - 2\sqrt{(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11})} + (6 + \sqrt{11})$.

Упрощаем выражение: $6 - \sqrt{11} - 2\sqrt{6^2 - (\sqrt{11})^2} + 6 + \sqrt{11} = 12 - 2\sqrt{36 - 11} = 12 - 2\sqrt{25} = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$.

Теперь вычислим второй множитель. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$.

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.

Ответ: $3$.

1) Вычислим значение каждого слагаемого в выражении $2\sqrt[4]{81} + \sqrt[3]{-125} + \sqrt[6]{64}$.
Сначала найдем значения корней:
Корень четвертой степени из 81: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Кубический корень из -125: $\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$.
Корень шестой степени из 64: $\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$2 \cdot 3 + (-5) + 2 = 6 - 5 + 2 = 1 + 2 = 3$.
Ответ: $3$.

2) Вычислим значение каждого члена выражения $5\sqrt[3]{-8} + \sqrt[4]{16} - \sqrt[6]{729}$.
Найдем значения корней:
Кубический корень из -8: $\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$.
Корень четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Корень шестой степени из 729: $\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$5 \cdot (-2) + 2 - 3 = -10 + 2 - 3 = -8 - 3 = -11$.
Ответ: $-11$.

3) Упростим выражение $\sqrt[3]{375} - \frac{2}{7}\sqrt[3]{1029} + 0,75\sqrt[3]{192} - 0,2\sqrt[3]{3000}$, вынеся множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был кубом целого числа.
$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{125 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$.
$\sqrt[3]{1029} = \sqrt[3]{343 \cdot 3} = \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = 7\sqrt[3]{3}$.
$\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{64 \cdot 3} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = 4\sqrt[3]{3}$.
$\sqrt[3]{3000} = \sqrt[3]{1000 \cdot 3} = \sqrt[3]{10^3 \cdot 3} = 10\sqrt[3]{3}$.
Подставим упрощенные корни в выражение:
$5\sqrt[3]{3} - \frac{2}{7} \cdot (7\sqrt[3]{3}) + 0,75 \cdot (4\sqrt[3]{3}) - 0,2 \cdot (10\sqrt[3]{3})$
Выполним умножение коэффициентов:
$= 5\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3}$
Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt[3]{3}$ за скобки:
$(5 - 2 + 3 - 2)\sqrt[3]{3} = 4\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $4\sqrt[3]{3}$.

4) Упростим выражение $\frac{4}{3}\sqrt[4]{162} - 0,2\sqrt[4]{1250} + 0,75\sqrt[4]{512} - 7\sqrt[4]{2}$, вынеся множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был четвертой степенью целого числа.
$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = 3\sqrt[4]{2}$.
$\sqrt[4]{1250} = \sqrt[4]{625 \cdot 2} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 2} = 5\sqrt[4]{2}$.
$\sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{256 \cdot 2} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 2} = 4\sqrt[4]{2}$.
Подставим упрощенные корни в выражение:
$\frac{4}{3} \cdot (3\sqrt[4]{2}) - 0,2 \cdot (5\sqrt[4]{2}) + 0,75 \cdot (4\sqrt[4]{2}) - 7\sqrt[4]{2}$
Выполним умножение коэффициентов:
$= 4\sqrt[4]{2} - 1\sqrt[4]{2} + 3\sqrt[4]{2} - 7\sqrt[4]{2}$
Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt[4]{2}$ за скобки:
$(4 - 1 + 3 - 7)\sqrt[4]{2} = (6 - 7)\sqrt[4]{2} = -\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{2}$.

1)

Докажем тождество: $(2\sqrt{175} - 3\sqrt{28} + 2\sqrt{63})^2 - 60\sqrt[3]{1000} = 100$.

Для этого преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{5^2 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

Подставим упрощенные значения в выражение в скобках:

$2\sqrt{175} - 3\sqrt{28} + 2\sqrt{63} = 2(5\sqrt{7}) - 3(2\sqrt{7}) + 2(3\sqrt{7}) = 10\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 10\sqrt{7}$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(10\sqrt{7})^2 = 10^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 100 \cdot 7 = 700$.

Далее вычислим вторую часть выражения:

$60\sqrt[3]{1000} = 60 \cdot \sqrt[3]{10^3} = 60 \cdot 10 = 600$.

Выполним вычитание:

$700 - 600 = 100$.

В результате преобразований левая часть равенства оказалась равна 100, что соответствует правой части. Таким образом, $100 = 100$.

Ответ: тождество доказано.

2)

Докажем тождество: $\frac{1}{3}(2\sqrt{150} + 3\sqrt{24} - 5\sqrt{54})^2 + 15\sqrt[4]{625} = 77$.

Преобразуем левую часть. Сначала упростим выражение в скобках:

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

Подставим эти значения в скобки:

$2(5\sqrt{6}) + 3(2\sqrt{6}) - 5(3\sqrt{6}) = 10\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 15\sqrt{6} = (10+6-15)\sqrt{6} = 1\sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Теперь вычислим первую часть исходного выражения:

$\frac{1}{3}(\sqrt{6})^2 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.

Вычислим вторую часть выражения:

$15\sqrt[4]{625} = 15\sqrt[4]{5^4} = 15 \cdot 5 = 75$.

Сложим полученные результаты:

$2 + 75 = 77$.

Левая часть равна правой: $77 = 77$.

Ответ: тождество доказано.

3)

Докажем тождество: $(\sqrt[6]{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = -2$.

Преобразуем левую часть. Упростим первый член в скобках $\sqrt[6]{5 + 2\sqrt{6}}$.

Заметим, что подкоренное выражение $5 + 2\sqrt{6}$ можно представить в виде квадрата суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.

$5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.

Тогда:

$\sqrt[6]{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt[6]{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2/6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = (2\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$.

Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$2\sqrt[3]{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$.

Выражение в скобках под корнем является разностью квадратов $(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.

Получаем:

$2\sqrt[3]{-1} = 2 \cdot (-1) = -2$.

Левая часть равна правой: $-2 = -2$.

Ответ: тождество доказано.

4)

Докажем тождество: $\sqrt{20,25} + \sqrt[3]{24} - \sqrt[4]{0,1296} - \frac{2}{5}\sqrt[3]{375} + \frac{1}{3}\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = 4,4$.

Вычислим каждое слагаемое в левой части по отдельности:

$\sqrt{20,25} = \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{45}{10} = 4,5$.

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.

$\sqrt[4]{0,1296} = \sqrt[4]{\frac{1296}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{6^4}}{\sqrt[4]{10^4}} = \frac{6}{10} = 0,6$.

$\frac{2}{5}\sqrt[3]{375} = \frac{2}{5}\sqrt[3]{125 \cdot 3} = \frac{2}{5} \cdot 5\sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

$\frac{1}{3}\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{7 \cdot 32 + 19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{224 + 19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{1}{3}\frac{\sqrt[5]{3^5}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$4,5 + 2\sqrt[3]{3} - 0,6 - 2\sqrt[3]{3} + 0,5$.

Сгруппируем и упростим:

$(4,5 - 0,6 + 0,5) + (2\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3})$.

Члены с $\sqrt[3]{3}$ взаимно уничтожаются. Остается вычислить сумму чисел:

$4,5 - 0,6 + 0,5 = 3,9 + 0,5 = 4,4$.

Левая часть равна правой: $4,4 = 4,4$.

Ответ: тождество доказано.