Страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Бүтін көрсеткішті және бөлшек көрсеткішті дәрежелердің қандай ұқсастығы және айырмашылығы бар?

Бүтін және бөлшек көрсеткішті дәрежелердің ұқсастықтары да, айырмашылықтары да бар.

Ұқсастықтары:

1. Екі жағдайда да негізі оң сан ($a > 0$) болғанда, дәрежелердің негізгі қасиеттері сақталады:
• Көбейту: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
• Бөлу: $a^x : a^y = a^{x-y}$
• Дәрежеге шығару: $(a^x)^y = a^{xy}$
• Көбейтіндіні дәрежеге шығару: $(ab)^x = a^x b^x$
• Бөлшекті дәрежеге шығару: $(a/b)^x = a^x / b^x$

2. Бүтін көрсеткішті дәреже бөлшек көрсеткішті дәреженің дербес жағдайы болып табылады. Мысалы, кез келген бүтін санды $n$ бөлшек түрінде $n/1$ деп жазуға болады: $a^n = a^{n/1}$.

Айырмашылықтары:

1.Анықтамасы бойынша:
• Бүтін натурал $n$ көрсеткішті дәреже ($a^n$) дегеніміз негізді ($a$) өзіне $n$ рет көбейтуді білдіреді: $a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ($n$ рет).
• Бөлшек (рационал) $r = m/n$ көрсеткішті дәреже ($a^{m/n}$) түбір арқылы анықталады: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.

2.Негізіне қойылатын шектеулер:
• Бүтін оң көрсеткішті дәреженің негізі кез келген нақты сан бола алады. Бүтін теріс көрсеткішті дәреже үшін негізі нөлге тең болмауы керек ($a \ne 0$).
• Бөлшек көрсеткішті дәреже үшін, нәтиже нақты сан болуы үшін, негізі, әдетте, теріс емес сан ($a \ge 0$) болуы шарт. Дәрежелердің қасиеттері барлық жағдайда орындалуы үшін негізі оң сан ($a > 0$) деп алынады. Мысалы, $(-9)^{1/2}$ өрнегі нақты сандар жиынында анықталмаған.

Ответ: Ұқсастығы – негізі оң болғанда қасиеттерінің бірдейлігінде. Айырмашылығы – анықтамаларында (көбейтуге қарсы түбір) және негізге қойылатын шектеулерде.

2. Бөлшек көрсеткішті дәреженің тура мәнін әр уақытта есептеуге бола ма?

Жоқ, бөлшек көрсеткішті дәреженің тура мәнін әр уақытта есептеу мүмкін емес.

"Тура мәнін есептеу" дегеніміз нәтижені рационал сан (бүтін сан, шекті ондық бөлшек немесе периодты ондық бөлшек) түрінде өрнектеуді білдіреді.

1.Тура мәнін есептеуге болатын жағдайлар: Егер негіз көрсеткіштің бөліміне сәйкес келетін дәрежелі сан болса. Мысалы:
• $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$. Нәтиже – бүтін сан.
• $0.25^{1.5} = 0.25^{3/2} = (\sqrt{0.25})^3 = 0.5^3 = 0.125$. Нәтиже – шекті ондық бөлшек.

2.Тура мәнін есептеуге болмайтын жағдайлар: Көп жағдайда нәтиже иррационал сан болады. Иррационал санды шекті немесе периодты ондық бөлшек түрінде жазу мүмкін емес, оны тек жуықтап қана табуға болады. Мысалы:
• $2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.4142135...$
• $5^{1/3} = \sqrt[3]{5} \approx 1.7099759...$
Бұл жағдайларда $\sqrt{2}$ және $\sqrt[3]{5}$ өрнектерінің өздері дәл мәндер болып саналады, бірақ оларды рационал сан түрінде "есептеп шығару" мүмкін емес.

Ответ: Жоқ, егер нәтиже иррационал сан болса, оның рационал сан түріндегі тура мәнін есептеу мүмкін емес.

3. “Кез келген нақты санды шексіз периодты ондық бөлшек түрінде жазуға болады” деген тұжырым дұрыс па? Жауабын түсіндіріндер.

Бұл тұжырым дұрыс емес.

Түсіндірме:

Нақты сандар жиыны екі үлкен топқа бөлінеді: рационал сандар және иррационал сандар.

1.Рационал сандар – бұл $p/q$ түріндегі бөлшек ретінде өрнектеле алатын сандар (мұндағы $p$ – бүтін сан, $q$ – нөлге тең емес натурал сан). Рационал сандарды ондық бөлшекке айналдырғанда, олар не шекті ондық бөлшек (мысалы, $1/4 = 0.25$), не шексіз периодты ондық бөлшек болады (мысалы, $1/3 = 0.333... = 0.(3)$). Шекті ондық бөлшекті де периоды 0 болатын шексіз бөлшек ретінде қарастыруға болады (мысалы, $0.25 = 0.25000... = 0.25(0)$). Сондықтан, кез келген рационал санды шексіз периодты ондық бөлшек түрінде жазуға болады.

2.Иррационал сандар – бұл $p/q$ түріндегі бөлшекке айналмайтын сандар. Олардың ондық бөлшек түріндегі жазылуы шексіз, бірақ периодты емес болады. Мысалдар: • $\pi \approx 3.14159265...$ • $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$ • $e \approx 2.71828182...$

Тұжырым "кез келген нақты санды" деп айтады, бірақ ол тек рационал сандар үшін ғана орындалады, ал иррационал сандар үшін орындалмайды. Сондықтан тұжырым қате.

Ответ: Тұжырым дұрыс емес, себебі иррационал сандар шексіз, бірақ периодты емес ондық бөлшек түрінде жазылады.

4. Иррационал көрсеткішті дәреженің рационал көрсеткішті дәрежеден қандай айырмашылығы бар?

Иррационал көрсеткішті дәреже мен рационал көрсеткішті дәреженің негізгі айырмашылығы олардың анықтамаларында.

1.Рационал көрсеткішті дәреже ($a^r$, мұндағы $r$ - рационал сан)
Егер дәреже көрсеткіші рационал сан болса ($r = m/n$), онда дәреже алгебралық жолмен, яғни түбір мен бүтін дәреженің көмегімен анықталады: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ (мұндағы $a > 0$). Бұл амалды орындау үшін негізді бүтін дәрежеге шығарып, одан кейін түбір табу жеткілікті.

2.Иррационал көрсеткішті дәреже ($a^b$, мұндағы $b$ - иррационал сан)
Егер дәреже көрсеткіші иррационал сан болса (мысалы, $\sqrt{2}$, $\pi$), оны түбір арқылы анықтау мүмкін емес. Мұндай дәреже шектер теориясы арқылы анықталады. $a^b$ мәнін табу үшін, $b$ иррационал санына жинақталатын $r_1, r_2, r_3, \dots$ рационал сандар тізбегі алынады. Сонда $a^b$ дәрежесі $a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3}, \dots$ тізбегінің шегі ретінде анықталады. Формула түрінде: $a^b = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$, мұндағы $\lim_{n \to \infty} r_n = b$ және $r_n$ – рационал сандар.
Мысалы, $3^{\sqrt{2}}$ мәнін анықтау үшін $\sqrt{2}$ санының рационал жуықтаулары ($1.4; 1.41; 1.414; \dots$) қолданылады. Сонда $3^{\sqrt{2}}$ дегеніміз $3^{1.4}, 3^{1.41}, 3^{1.414}, \dots$ тізбегінің ұмтылатын шегі болады.

Ответ: Негізгі айырмашылық – анықтамасында: рационал көрсеткішті дәреже алгебралық жолмен (түбір арқылы), ал иррационал көрсеткішті дәреже анализдік жолмен (шек арқылы) анықталады.

1) Для преобразования степени с дробным показателем $11^{\frac{2}{3}}$ в корень используется основное свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном выражении основание $a = 11$, числитель показателя степени $m = 2$, а знаменатель $n = 3$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $11^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{11^2} = \sqrt[3]{121}$.
Ответ: $\sqrt[3]{121}$.

2) Выражение $0,7^{-\frac{5}{4}}$ содержит отрицательный дробный показатель. Для его преобразования в корень используется свойство $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$. Здесь основание $a = 0,7$, числитель показателя $m = 5$, и знаменатель $n = 4$. Применяя формулу, получаем: $0,7^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{0,7^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{0,7^5}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{0,7^5}}$.

3) В выражении $(\frac{3}{10})^{0,75}$ показатель степени является десятичной дробью. В первую очередь, преобразуем его в обыкновенную дробь: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Теперь исходное выражение можно записать как $(\frac{3}{10})^{\frac{3}{4}}$. Далее, используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ где $a = \frac{3}{10}$, $m = 3$ и $n = 4$, получаем: $(\frac{3}{10})^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{10})^3} = \sqrt[4]{\frac{3^3}{10^3}} = \sqrt[4]{\frac{27}{1000}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{\frac{27}{1000}}$.

4) В выражении $(-21)^{1\frac{1}{5}}$ показатель степени представлен в виде смешанного числа. Преобразуем его в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$. Таким образом, выражение становится $(-21)^{\frac{6}{5}}$. Степень с дробным показателем для отрицательного основания определена только в том случае, если знаменатель показателя является нечетным числом. В нашем случае знаменатель $n = 5$ — нечетный, поэтому выражение имеет смысл. Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: $(-21)^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{(-21)^6}$. Так как показатель степени под корнем четный ($6$), то $(-21)^6 = 21^6$, и выражение можно записать как $\sqrt[5]{21^6}$.
Ответ: $\sqrt[5]{(-21)^6}$.

5) В выражении $a^{-2,5}$ показатель степени — отрицательное десятичное число. Сначала преобразуем его в обыкновенную дробь: $-2,5 = -2\frac{5}{10} = -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$. Выражение принимает вид $a^{-\frac{5}{2}}$. Теперь используем свойство для отрицательной степени $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$. В данном случае $m = 5$ и $n = 2$. Так как знаменатель $n=2$ является четным числом, данное выражение определено только при $a > 0$. Получаем: $a^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{a^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^5}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a^5}}$.

6) В выражении $(b+1)^{1,5}$ преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь: $1,5 = 1\frac{5}{10} = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Выражение примет вид $(b+1)^{\frac{3}{2}}$. Основанием степени является выражение $(b+1)$. Поскольку знаменатель показателя $n=2$ — четное число, выражение определено при условии $b+1 \ge 0$, то есть $b \ge -1$. Применяя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a = (b+1)$, $m=3$, $n=2$, получаем: $(b+1)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(b+1)^3}$.
Ответ: $\sqrt{(b+1)^3}$.

7) В выражении $(a-2b)^{3\frac{1}{2}}$ преобразуем смешанный показатель степени в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$. Выражение можно записать как $(a-2b)^{\frac{7}{2}}$. Основание степени здесь $A = a-2b$. Так как знаменатель показателя $n=2$ является четным, выражение определено при $a-2b \ge 0$. Используя формулу $A^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{A^m}$, получаем: $(a-2b)^{\frac{7}{2}} = \sqrt{(a-2b)^7}$.
Ответ: $\sqrt{(a-2b)^7}$.

8) Выражение $(x-y^2)^{-\frac{7}{4}}$ содержит отрицательный дробный показатель. Основание степени $A = x-y^2$. Используем формулу для отрицательной степени $A^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{A^m}}$. В данном случае $m=7$ и $n=4$. Поскольку знаменатель показателя $n=4$ — четное число, выражение под корнем должно быть неотрицательным. А так как степень отрицательная, то основание не может быть равно нулю. Следовательно, выражение определено при $x-y^2 > 0$. Преобразование дает: $(x-y^2)^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{(x-y^2)^{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(x-y^2)^7}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{(x-y^2)^7}}$.

1) Для вычисления $8^{\frac{1}{3}}$ используем свойство степени $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае это кубический корень из 8.
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$.
Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Также можно представить 8 как $2^3$ и воспользоваться свойством $(a^x)^y = a^{xy}$:
$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2.

2) Для вычисления $16^{\frac{3}{4}}$ используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3$.
Находим корень четвертой степени из 16. Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Теперь возводим результат в третью степень: $2^3 = 8$.
Альтернативный способ: представить 16 как $2^4$.
$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8.

3) Для вычисления $64^{-\frac{1}{2}}$ используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$64^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень: $64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$.
Следовательно, $64^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

4) Для вычисления $0,25^{-\frac{1}{2}}$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Теперь используем свойство отрицательной степени:
$0,25^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}}$.
Вычисляем знаменатель: $(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Получаем: $\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Другой способ: $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 4^{(-1) \cdot (-\frac{1}{2})} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

5) Для вычисления $0,36^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся определением дробной степени, что равносильно извлечению квадратного корня.
$0,36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,36}$.
Так как $0,6^2 = 0,36$, то $\sqrt{0,36} = 0,6$.
Можно также представить в виде дроби: $0,36^{\frac{1}{2}} = (\frac{36}{100})^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.
Ответ: 0,6.

6) Для вычисления $(-27)^{-\frac{4}{3}}$ используем свойство отрицательной степени.
$(-27)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(-27)^{\frac{4}{3}}}$.
Далее вычисляем знаменатель: $(-27)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{-27})^4$.
Кубический корень из -27 равен -3, так как $(-3)^3 = -27$.
Теперь возводим -3 в четвертую степень: $(-3)^4 = 81$.
Таким образом, результат равен $\frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$.

7) Для вычисления $(2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}$ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Теперь вычисляем значение выражения: $(\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}}$.
$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
Результат можно оставить в виде дроби или перевести в десятичную: $\frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

8) Для вычисления $32^{-\frac{1}{5}}$ используем свойство отрицательной степени.
$32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$.
$32^{\frac{1}{5}}$ — это корень пятой степени из 32.
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Следовательно, результат равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

1) Чтобы представить корень $n$-й степени из числа в степени $m$, то есть $\sqrt[n]{x^m}$, в виде степени с дробным показателем, используется формула: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
В данном выражении $\sqrt[3]{a^2}$ показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=2$.
Применяя формулу, получаем: $\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

2) Используем ту же формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Для выражения $\sqrt[5]{b^3}$ показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$.
Таким образом, получаем: $\sqrt[5]{b^3} = b^{\frac{3}{5}}$.
Ответ: $b^{\frac{3}{5}}$

3) В данном случае подкоренное выражение является суммой $(a^2 + b^2)$. Всё это выражение находится под кубическим корнем, что можно записать как $\sqrt[3]{(a^2 + b^2)^1}$.
Здесь показатель корня $n=3$, а показатель степени всего подкоренного выражения $m=1$.
Применяя формулу к выражению в скобках как к единому целому, получаем: $\sqrt[3]{a^2 + b^2} = (a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $(a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}$

4) Аналогично предыдущему примеру, подкоренное выражение — это разность $(x - y)$. Выражение можно записать как $\sqrt[3]{(x - y)^1}$.
Показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.
Следовательно: $\sqrt[3]{x - y} = (x - y)^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $(x - y)^{\frac{1}{3}}$

5) В выражении $\sqrt[5]{a^2b^3}$ подкоренное выражение является произведением. Показатель корня $n=5$.
Сначала представим корень в виде степени от всего произведения: $\sqrt[5]{a^2b^3} = (a^2b^3)^{\frac{1}{5}}$.
Далее, используя свойство степени произведения $(xy)^z = x^z y^z$, мы можем применить показатель степени к каждому множителю: $(a^2)^{\frac{1}{5}}(b^3)^{\frac{1}{5}}$.
Теперь, используя свойство степени степени $(x^p)^q = x^{pq}$, получаем окончательный вид: $a^{2 \cdot \frac{1}{5}} b^{3 \cdot \frac{1}{5}} = a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}$

6) Для выражения $\frac{1}{\sqrt{a}}$ сначала преобразуем знаменатель.
Квадратный корень $\sqrt{a}$ — это то же самое, что $\sqrt[2]{a^1}$. По формуле $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$ получаем: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$, получаем: $a^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{2}}$

7) Преобразуем знаменатель $\sqrt{a+b}$. Это квадратный корень из выражения $(a+b)$, что эквивалентно $\sqrt[2]{(a+b)^1}$.
Применяя формулу, получаем: $\sqrt{a+b} = (a+b)^{\frac{1}{2}}$.
Теперь все выражение выглядит как $\frac{1}{(a+b)^{\frac{1}{2}}}$.
Используя свойство $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$, получаем: $(a+b)^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $(a+b)^{-\frac{1}{2}}$

8) В выражении $\frac{2}{\sqrt[3]{a-b}}$ преобразуем знаменатель $\sqrt[3]{a-b}$.
Это кубический корень из выражения $(a-b)$, что эквивалентно $\sqrt[3]{(a-b)^1}$.
По формуле получаем: $\sqrt[3]{a-b} = (a-b)^{\frac{1}{3}}$.
Исходное выражение становится $\frac{2}{(a-b)^{\frac{1}{3}}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, переносим выражение из знаменателя в числитель: $2(a-b)^{-\frac{1}{3}}$.
Ответ: $2(a-b)^{-\frac{1}{3}}$