Страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) В данном случае мы сравниваем два числа с одинаковым показателем степени $\sqrt{5}$. Показатель степени является положительным числом ($\sqrt{5} \approx 2.236 > 0$). Для степенной функции $y = x^a$ с положительным показателем ($a > 0$) и положительным основанием ($x > 0$) верно, что большему значению основания соответствует большее значение функции. Поэтому нам нужно сравнить основания: $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{8}$. Это дроби с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $8 < 9$, то $\frac{2}{8} > \frac{2}{9}$. Следовательно, $(\frac{2}{8})^{\sqrt{5}} > (\frac{2}{9})^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}} < (\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$.

2) В этом примере мы сравниваем два числа с одинаковым отрицательным показателем степени $-\sqrt{3}$. Для степенной функции $y = x^a$ с отрицательным показателем ($a < 0$) и положительным основанием ($x > 0$) верно, что большему значению основания соответствует меньшее значение функции (функция является убывающей). Сравним основания: $\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\frac{3\sqrt{5}}{4}$. Мы можем разделить оба числа на положительное число $\sqrt{5}$, при этом знак неравенства не изменится: $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Приводя к общему знаменателю 12, получаем $\frac{4}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Так как $4 < 9$, то $\frac{4}{12} < \frac{9}{12}$, а значит $\frac{\sqrt{5}}{3} < \frac{3\sqrt{5}}{4}$. Поскольку показатель степени отрицательный, знак неравенства между степенями будет противоположным. Таким образом, $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$.

3) Здесь мы сравниваем числа с одинаковым положительным показателем степени $1.2$. Как и в первом пункте, функция является возрастающей. Сравним основания: $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{6}$. Это дроби с одинаковым числителем $\pi$. Больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $5 < 6$, то $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{6}$. Поскольку функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. Следовательно, $(\frac{\pi}{5})^{1.2} > (\frac{\pi}{6})^{1.2}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{5})^{1.2} > (\frac{\pi}{6})^{1.2}$.

4) В этом случае мы сравниваем числа с одинаковым отрицательным показателем степени $-2.8$. Как и во втором пункте, функция является убывающей, поэтому большему основанию будет соответствовать меньшее значение степени. Сравним основания: $\frac{\sqrt[4]{2}}{3}$ и $\frac{\sqrt[4]{2}}{2}$. У этих дробей одинаковые числители $\sqrt[4]{2}$. Больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $2 < 3$, то $\frac{\sqrt[4]{2}}{2} > \frac{\sqrt[4]{2}}{3}$. Поскольку показатель степени отрицательный, знак неравенства для степеней будет обратным. Таким образом, $(\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8} < (\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8} > (\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$.

1)

Для упрощения данного выражения введем переменные. Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b$. Тогда выражение примет вид:

$ \frac{(x-y)^2 \cdot (\frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1)}{\frac{y^2}{x^2} - \frac{y}{x} + \frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y}} $

Рассмотрим числитель (Ч) и знаменатель (З) дроби по отдельности.

Упростим числитель, приведя выражение в скобках к общему знаменателю $xy$:

$ Ч = (x-y)^2 \cdot \left(\frac{y^2 + x^2 + xy}{xy}\right) = \frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{xy} $

Упростим знаменатель, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители:

$ З = \left(\frac{y^2}{x^2} - \frac{y}{x}\right) + \left(\frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y}\right) = \frac{y(y - x)}{x^2} + \frac{x(x - y)}{y^2} $

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$ З = (x-y)\left(\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}\right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $x^2y^2$:

$ З = (x-y)\left(\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}\right) $

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{Ч}{З} = \frac{\frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{xy}}{\frac{(x-y)(x^3-y^3)}{x^2y^2}} = \frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)(x^3-y^3)} $

Используем формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ для знаменателя:

$ \frac{Ч}{З} = \frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2)} $

Сокращаем одинаковые множители $(x-y)^2$ и $(x^2+xy+y^2)$:

$ \frac{Ч}{З} = \frac{x^2y^2}{xy} = xy $

Выполним обратную замену $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b$:

$ xy = a^{\frac{1}{3}}b $

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}b$.

2)

Для упрощения выражения введем замену: $x = a^{\frac{1}{8}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{8}})^2 = a^{\frac{1}{4}}$, $x^4 = (a^{\frac{1}{8}})^4 = a^{\frac{1}{2}}$. Также $2\sqrt[4]{a} - 2 = 2a^{\frac{1}{4}} - 2 = 2x^2 - 2$.

Исходное выражение примет вид:

$ E = \frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{1}{x^2 - x + 1} - \frac{2x^2 - 2}{x^4 - x^2 + 1} $

Сначала сложим первые две дроби, приведя их к общему знаменателю:

$ \frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{1}{x^2 - x + 1} = \frac{(x^2 - x + 1) + (x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{2x^2 + 2}{x^4 + x^2 + 1} $

Мы использовали тождество $(x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+1)^2 - x^2 = x^4+2x^2+1-x^2 = x^4+x^2+1$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ E = \frac{2x^2 + 2}{x^4 + x^2 + 1} - \frac{2x^2 - 2}{x^4 - x^2 + 1} $

Вынесем 2 за скобки в числителях:

$ E = \frac{2(x^2 + 1)}{x^4 + x^2 + 1} - \frac{2(x^2 - 1)}{x^4 - x^2 + 1} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$, который равен $(x^4+1)^2 - (x^2)^2 = x^8+2x^4+1-x^4 = x^8+x^4+1$.

Числитель будет равен:

$ 2(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) - 2(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) $

Используем формулы суммы и разности кубов. Если положить $y=x^2$, то $y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$ и $y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$.

Следовательно, $x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ и $x^6-1 = (x^2-1)(x^4+x^2+1)$.

Тогда числитель равен:

$ 2(x^6+1) - 2(x^6-1) = 2x^6+2 - 2x^6+2 = 4 $

Таким образом, всё выражение упрощается до:

$ E = \frac{4}{x^8+x^4+1} $

Выполним обратную замену: $x^8 = (a^{\frac{1}{8}})^8 = a$ и $x^4 = (a^{\frac{1}{8}})^4 = a^{\frac{1}{2}}$.

$ E = \frac{4}{a + a^{\frac{1}{2}} + 1} $

Ответ: $\frac{4}{a + a^{\frac{1}{2}} + 1}$.

1)

Упростим данное выражение по частям, преобразуя каждую дробь.

Преобразуем первую дробь $ \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}} $. Для избавления от отрицательных и дробных степеней умножим числитель и знаменатель на $a^{\frac{1}{3}}$:

$ \frac{2a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}) \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \frac{2a^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}} = \frac{2a^0}{a^1 - 3a^0} = \frac{2 \cdot 1}{a - 3 \cdot 1} = \frac{2}{a-3} $.

Преобразуем вторую дробь $ \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} $. Вынесем в знаменателе общий множитель $a^{\frac{2}{3}}$ за скобки:

$ \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} - 1)} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1)} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a - 1)} = \frac{1}{a-1} $.

Преобразуем третью дробь $ \frac{a+1}{a^2 - 4a + 3} $. Разложим квадратный трехчлен в знаменателе на множители. Для этого найдем корни уравнения $a^2 - 4a + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $a_1=1$ и $a_2=3$.

Следовательно, $a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3)$. Дробь принимает вид $ \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $.

Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:

$ \frac{2}{a-3} - \frac{1}{a-1} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(a-3)$:

$ \frac{2(a-1)}{(a-1)(a-3)} - \frac{1(a-3)}{(a-1)(a-3)} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} = \frac{2(a-1) - (a-3) - (a+1)}{(a-1)(a-3)} $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2a - 2 - a + 3 - a - 1}{(a-1)(a-3)} = \frac{(2a-a-a) + (-2+3-1)}{(a-1)(a-3)} = \frac{0a + 0}{(a-1)(a-3)} = \frac{0}{(a-1)(a-3)} = 0 $.

Область допустимых значений переменной $a$ определяется условиями: $a > 0$, $a \neq 1$, $a \neq 3$.

Ответ: $0$.

2)

Сначала упростим выражение, стоящее в скобках. Начнем с дроби $ \frac{x^{\frac{4}{3}} + 8x^{\frac{1}{3}}y}{x^{\frac{2}{3}} - 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}}} $.

Перепишем знаменатель, используя степени с рациональным показателем: $ x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}} $.

Заметим, что знаменатель является неполным квадратом разности выражений $A=x^{\frac{1}{3}}$ и $B=2y^{\frac{1}{3}}$, т.е. имеет вид $ A^2 - AB + B^2 $:

$ (x^{\frac{1}{3}})^2 - (x^{\frac{1}{3}})(2y^{\frac{1}{3}}) + (2y^{\frac{1}{3}})^2 $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$:

$ x^{\frac{1}{3}}(x + 8y) $.

Выражение в скобках $x+8y$ можно представить в виде суммы кубов: $x+8y = (x^{\frac{1}{3}})^3 + (2y^{\frac{1}{3}})^3$.

Применим формулу суммы кубов $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$, где $A=x^{\frac{1}{3}}$ и $B=2y^{\frac{1}{3}}$:

$ x+8y = (x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) $.

Подставим разложение числителя в дробь:

$ \frac{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}} $.

Сократим дробь на выражение $ (x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) $, которое не равно нулю (кроме случая $x=y=0$):

$ x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}}) = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение в скобках:

$ (x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} - 2\sqrt[3]{xy}) = x^{\frac{2}{3}} $.

Осталось возвести полученное выражение в степень 6:

$ (x^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{2}{3} \cdot 6} = x^{\frac{12}{3}} = x^4 $.

Ответ: $x^4$.