Страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Берілген өрнек: $E = \left(x^{-2} + a^{-\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-2} + a^{\frac{4}{3}}x^{-\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}$, мұндағы $x = \left(1 - a^{\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{3}{2}}$.

Алдымен $x$-ке қатысты өрнектерді ықшамдайық. $x = \left(1 - a^{\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{3}{2}}$ болғандықтан, өрнектің мағынасы болуы үшін $1 - a^{\frac{2}{3}} > 0$ болуы керек, яғни $|a|<1$ және $a \ne 0$, себебі $a$ теріс дәрежеде кездеседі.

Осыдан $x^{-\frac{2}{3}} = \left(\left(1 - a^{\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{3}{2}}\right)^{-\frac{2}{3}} = 1 - a^{\frac{2}{3}}$.

Енді өрнектің екінші қосылғышының ішіндегі өрнекті ықшамдап көрейік:

$I_2 = a^{-2} + a^{\frac{4}{3}}x^{-\frac{2}{3}} = a^{-2} + a^{\frac{4}{3}}\left(1 - a^{\frac{2}{3}}\right) = a^{-2} + a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{-2} + a^{\frac{4}{3}} - a^2$.

Бұл өрнек, сондай-ақ бірінші қосылғыштың ішіндегі өрнек те, әдетте осындай есептерде кездесетіндей, толық квадрат болып табылмайды. Мысалы, $(a^{-1} \pm a)^2 = a^{-2} \pm 2 + a^2$. Егер өрнектер толық квадрат болса, олардан квадрат түбір алу оңай болар еді.

Өрнектің берілуінде қателік болуы ықтимал, себебі берілген түрде ол қарапайым түрге келтірілмейді. Берілген есепте бұл шарт орындалмайды.

Сондықтан, берілген шарттармен есептің нақты сандық мәнін табу мүмкін емес.

Ответ: Есептің шартында қате бар болуы мүмкін, берілген өрнекті ықшамдау мүмкін емес.

2)

Берілген өрнек: $E = \left(\frac{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} + (x^2-1)^{-\frac{1}{2}}}{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} - (x^2-1)^{-\frac{1}{2}}}\right)^{-2}$, мұндағы $x = \left(\frac{m^2+n^2}{2mn}\right)^{\frac{1}{2}}$.

Алдымен $E$ өрнегін ықшамдайық. Теріс дәреженің қасиеті бойынша:

$E = \left(\frac{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} - (x^2-1)^{-\frac{1}{2}}}{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} + (x^2-1)^{-\frac{1}{2}}}\right)^{2}$.

Дәреженің $-1/2$ көрсеткішін түбір ретінде жазайық:

$E = \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}\right)^{2}$.

Бөлшектің алымын да, бөлімін де $\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}$ өрнегіне көбейтеміз:

$E = \left(\frac{\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2-1} + \sqrt{x^2+1}}\right)^{2}$.

Жақша ішіндегі бөлшектің бөлімін иррационалдықтан босатайық:

$\frac{\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2-1} + \sqrt{x^2+1}} = \frac{(\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1})^2}{(\sqrt{x^2-1})^2 - (\sqrt{x^2+1})^2} = \frac{(x^2-1) - 2\sqrt{(x^2-1)(x^2+1)} + (x^2+1)}{(x^2-1) - (x^2+1)} = \frac{2x^2 - 2\sqrt{x^4-1}}{-2} = \sqrt{x^4-1} - x^2$.

Сонымен, $E = (\sqrt{x^4-1} - x^2)^2$.

Енді $x$-тің берілген мәнін қолданамыз: $x^2 = \frac{m^2+n^2}{2mn}$. Өрнек анықталуы үшін $x^2-1 > 0$ болуы керек, яғни $\frac{m^2+n^2}{2mn} - 1 = \frac{(m-n)^2}{2mn} > 0$. Бұл $m \ne n$ және $mn>0$ болғанда орындалады.

Өрнектің негізгі компоненттерін есептейік:

$x^2-1 = \frac{m^2+n^2-2mn}{2mn} = \frac{(m-n)^2}{2mn}$.

$x^2+1 = \frac{m^2+n^2+2mn}{2mn} = \frac{(m+n)^2}{2mn}$.

$\sqrt{x^4-1} = \sqrt{(x^2-1)(x^2+1)} = \sqrt{\frac{(m-n)^2(m+n)^2}{(2mn)^2}} = \frac{|(m-n)(m+n)|}{|2mn|} = \frac{|m^2-n^2|}{2mn}$ (себебі берілген шарттарда $m>0, n>0$).

Осы мәндерді $E$ үшін өрнекке қоямыз:

$E = \left(\frac{|m^2-n^2|}{2mn} - \frac{m^2+n^2}{2mn}\right)^2 = \left(\frac{|m^2-n^2| - (m^2+n^2)}{2mn}\right)^2$.

Енді берілген жағдайларды қарастырамыз:

a) $n > m > 0$

Бұл жағдайда $m^2 < n^2$, сондықтан $m^2-n^2 < 0$, яғни $|m^2-n^2| = -(m^2-n^2) = n^2-m^2$.

$E = \left(\frac{(n^2-m^2) - (m^2+n^2)}{2mn}\right)^2 = \left(\frac{n^2-m^2-m^2-n^2}{2mn}\right)^2 = \left(\frac{-2m^2}{2mn}\right)^2 = \left(-\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}$.

Ответ: $\frac{m^2}{n^2}$

ә) $m > n > 0$

Бұл жағдайда $m^2 > n^2$, сондықтан $m^2-n^2 > 0$, яғни $|m^2-n^2| = m^2-n^2$.

$E = \left(\frac{(m^2-n^2) - (m^2+n^2)}{2mn}\right)^2 = \left(\frac{m^2-n^2-m^2-n^2}{2mn}\right)^2 = \left(\frac{-2n^2}{2mn}\right)^2 = \left(-\frac{n}{m}\right)^2 = \frac{n^2}{m^2}$.

Ответ: $\frac{n^2}{m^2}$

б) $m=n=1$

Бұл жағдайда $x^2 = \frac{1^2+1^2}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 1$, демек $x^2-1=0$. Бастапқы өрнекте $(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}$ мүшесі бар, ол $0^{-\frac{1}{2}}$ болады, яғни нөлге бөлу амалына әкеледі. Сондықтан бұл жағдайда өрнек анықталмаған.

Ответ: Өрнек анықталмаған.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как $L$. Правая часть равна $\sqrt[p]{x} + \sqrt[q]{x} = x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}$.

Для удобства введем замены: $u = x^{\frac{1}{p}}$ и $v = x^{\frac{1}{q}}$. Тогда правая часть равна $u+v$.

Перепишем левую часть $L$ с использованием $u$ и $v$:

$L = \frac{u^3 - v^3}{(u+v)^2 - 2v(u+v)} + \frac{u}{x^{\frac{q-p}{pq}} + 1}$

Упростим знаменатель первого слагаемого:

$(u+v)^2 - 2v(u+v) = (u+v)(u+v-2v) = (u+v)(u-v) = u^2-v^2$.

Первое слагаемое принимает вид (используя формулы разности кубов и разности квадратов):

$\frac{u^3 - v^3}{u^2-v^2} = \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{(u-v)(u+v)} = \frac{u^2+uv+v^2}{u+v}$.

Теперь упростим второе слагаемое. Преобразуем показатель степени в знаменателе:

$x^{\frac{q-p}{pq}} = x^{\frac{q}{pq} - \frac{p}{pq}} = x^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} = \frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{1}{q}}} = \frac{u}{v}$.

Второе слагаемое принимает вид:

$\frac{u}{\frac{u}{v} + 1} = \frac{u}{\frac{u+v}{v}} = \frac{uv}{u+v}$.

Теперь сложим упрощенные слагаемые:

$L = \frac{u^2+uv+v^2}{u+v} + \frac{uv}{u+v} = \frac{u^2+uv+v^2+uv}{u+v} = \frac{u^2+2uv+v^2}{u+v}$.

Числитель является полным квадратом суммы $(u+v)^2$.

$L = \frac{(u+v)^2}{u+v} = u+v$.

Мы получили, что левая часть равна $u+v = x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим выражение в скобках как $E$.

$E = \frac{9-4a^{-2}}{3a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{3}{2}}} - \frac{1+a^{-1}-6a^{-2}}{a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}}}$

Упростим первую дробь. Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$9-4a^{-2} = 3^2 - (2a^{-1})^2 = (3-2a^{-1})(3+2a^{-1})$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{-\frac{1}{2}}$:

$3a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2}}(3 + 2a^{-1})$.

Тогда первая дробь равна:

$\frac{(3-2a^{-1})(3+2a^{-1})}{a^{-\frac{1}{2}}(3+2a^{-1})} = \frac{3-2a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}}(3-2a^{-1}) = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}$.

Теперь упростим вторую дробь. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $a^{-1}$:

$1+a^{-1}-6a^{-2} = (1-2a^{-1})(1+3a^{-1})$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{-\frac{1}{2}}$:

$a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2}}(1+3a^{-1})$.

Тогда вторая дробь равна:

$\frac{(1-2a^{-1})(1+3a^{-1})}{a^{-\frac{1}{2}}(1+3a^{-1})} = \frac{1-2a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}}(1-2a^{-1}) = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}$.

Теперь найдем значение выражения $E$:

$E = (3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}) = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}}$.

Подставим найденное значение $E$ в исходное выражение:

$E^4 - 16a^2 = (2a^{\frac{1}{2}})^4 - 16a^2 = 2^4 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^4 - 16a^2 = 16a^{\frac{4}{2}} - 16a^2 = 16a^2 - 16a^2 = 0$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.