Номер 108, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как $L$. Правая часть равна $\sqrt[p]{x} + \sqrt[q]{x} = x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}$.

Для удобства введем замены: $u = x^{\frac{1}{p}}$ и $v = x^{\frac{1}{q}}$. Тогда правая часть равна $u+v$.

Перепишем левую часть $L$ с использованием $u$ и $v$:

$L = \frac{u^3 - v^3}{(u+v)^2 - 2v(u+v)} + \frac{u}{x^{\frac{q-p}{pq}} + 1}$

Упростим знаменатель первого слагаемого:

$(u+v)^2 - 2v(u+v) = (u+v)(u+v-2v) = (u+v)(u-v) = u^2-v^2$.

Первое слагаемое принимает вид (используя формулы разности кубов и разности квадратов):

$\frac{u^3 - v^3}{u^2-v^2} = \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{(u-v)(u+v)} = \frac{u^2+uv+v^2}{u+v}$.

Теперь упростим второе слагаемое. Преобразуем показатель степени в знаменателе:

$x^{\frac{q-p}{pq}} = x^{\frac{q}{pq} - \frac{p}{pq}} = x^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} = \frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{1}{q}}} = \frac{u}{v}$.

Второе слагаемое принимает вид:

$\frac{u}{\frac{u}{v} + 1} = \frac{u}{\frac{u+v}{v}} = \frac{uv}{u+v}$.

Теперь сложим упрощенные слагаемые:

$L = \frac{u^2+uv+v^2}{u+v} + \frac{uv}{u+v} = \frac{u^2+uv+v^2+uv}{u+v} = \frac{u^2+2uv+v^2}{u+v}$.

Числитель является полным квадратом суммы $(u+v)^2$.

$L = \frac{(u+v)^2}{u+v} = u+v$.

Мы получили, что левая часть равна $u+v = x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим выражение в скобках как $E$.

$E = \frac{9-4a^{-2}}{3a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{3}{2}}} - \frac{1+a^{-1}-6a^{-2}}{a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}}}$

Упростим первую дробь. Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$9-4a^{-2} = 3^2 - (2a^{-1})^2 = (3-2a^{-1})(3+2a^{-1})$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{-\frac{1}{2}}$:

$3a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2}}(3 + 2a^{-1})$.

Тогда первая дробь равна:

$\frac{(3-2a^{-1})(3+2a^{-1})}{a^{-\frac{1}{2}}(3+2a^{-1})} = \frac{3-2a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}}(3-2a^{-1}) = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}$.

Теперь упростим вторую дробь. Разложим числитель на множители как квадратный трехчлен относительно $a^{-1}$:

$1+a^{-1}-6a^{-2} = (1-2a^{-1})(1+3a^{-1})$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{-\frac{1}{2}}$:

$a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2}}(1+3a^{-1})$.

Тогда вторая дробь равна:

$\frac{(1-2a^{-1})(1+3a^{-1})}{a^{-\frac{1}{2}}(1+3a^{-1})} = \frac{1-2a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}}(1-2a^{-1}) = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}$.

Теперь найдем значение выражения $E$:

$E = (3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}) = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}}$.

Подставим найденное значение $E$ в исходное выражение:

$E^4 - 16a^2 = (2a^{\frac{1}{2}})^4 - 16a^2 = 2^4 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^4 - 16a^2 = 16a^{\frac{4}{2}} - 16a^2 = 16a^2 - 16a^2 = 0$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.