Номер 105, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для упрощения данного выражения введем переменные. Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b$. Тогда выражение примет вид:

$ \frac{(x-y)^2 \cdot (\frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1)}{\frac{y^2}{x^2} - \frac{y}{x} + \frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y}} $

Рассмотрим числитель (Ч) и знаменатель (З) дроби по отдельности.

Упростим числитель, приведя выражение в скобках к общему знаменателю $xy$:

$ Ч = (x-y)^2 \cdot \left(\frac{y^2 + x^2 + xy}{xy}\right) = \frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{xy} $

Упростим знаменатель, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители:

$ З = \left(\frac{y^2}{x^2} - \frac{y}{x}\right) + \left(\frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y}\right) = \frac{y(y - x)}{x^2} + \frac{x(x - y)}{y^2} $

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$ З = (x-y)\left(\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}\right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $x^2y^2$:

$ З = (x-y)\left(\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}\right) $

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{Ч}{З} = \frac{\frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{xy}}{\frac{(x-y)(x^3-y^3)}{x^2y^2}} = \frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)(x^3-y^3)} $

Используем формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ для знаменателя:

$ \frac{Ч}{З} = \frac{(x-y)^2(x^2+xy+y^2)}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2)} $

Сокращаем одинаковые множители $(x-y)^2$ и $(x^2+xy+y^2)$:

$ \frac{Ч}{З} = \frac{x^2y^2}{xy} = xy $

Выполним обратную замену $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b$:

$ xy = a^{\frac{1}{3}}b $

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}b$.

2)

Для упрощения выражения введем замену: $x = a^{\frac{1}{8}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{8}})^2 = a^{\frac{1}{4}}$, $x^4 = (a^{\frac{1}{8}})^4 = a^{\frac{1}{2}}$. Также $2\sqrt[4]{a} - 2 = 2a^{\frac{1}{4}} - 2 = 2x^2 - 2$.

Исходное выражение примет вид:

$ E = \frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{1}{x^2 - x + 1} - \frac{2x^2 - 2}{x^4 - x^2 + 1} $

Сначала сложим первые две дроби, приведя их к общему знаменателю:

$ \frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{1}{x^2 - x + 1} = \frac{(x^2 - x + 1) + (x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{2x^2 + 2}{x^4 + x^2 + 1} $

Мы использовали тождество $(x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+1)^2 - x^2 = x^4+2x^2+1-x^2 = x^4+x^2+1$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ E = \frac{2x^2 + 2}{x^4 + x^2 + 1} - \frac{2x^2 - 2}{x^4 - x^2 + 1} $

Вынесем 2 за скобки в числителях:

$ E = \frac{2(x^2 + 1)}{x^4 + x^2 + 1} - \frac{2(x^2 - 1)}{x^4 - x^2 + 1} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$, который равен $(x^4+1)^2 - (x^2)^2 = x^8+2x^4+1-x^4 = x^8+x^4+1$.

Числитель будет равен:

$ 2(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) - 2(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) $

Используем формулы суммы и разности кубов. Если положить $y=x^2$, то $y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$ и $y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$.

Следовательно, $x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ и $x^6-1 = (x^2-1)(x^4+x^2+1)$.

Тогда числитель равен:

$ 2(x^6+1) - 2(x^6-1) = 2x^6+2 - 2x^6+2 = 4 $

Таким образом, всё выражение упрощается до:

$ E = \frac{4}{x^8+x^4+1} $

Выполним обратную замену: $x^8 = (a^{\frac{1}{8}})^8 = a$ и $x^4 = (a^{\frac{1}{8}})^4 = a^{\frac{1}{2}}$.

$ E = \frac{4}{a + a^{\frac{1}{2}} + 1} $

Ответ: $\frac{4}{a + a^{\frac{1}{2}} + 1}$.