Номер 99, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{2}} \right)^{-\sqrt{8}}$

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{2}} \right)^{-\sqrt{8}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8})}$

Теперь упростим показатель степени:

$\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8}) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$\left( \frac{1}{2} \right)^{-4}$

Используем свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$\left( \frac{1}{2} \right)^{-4} = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = 2^4 = 16$

Ответ: 16.

2) $\left( (\sqrt[3]{6})^{\sqrt{3}} \right)^{-3\sqrt{3}}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\left( (\sqrt[3]{6})^{\sqrt{3}} \right)^{-3\sqrt{3}} = (\sqrt[3]{6})^{\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3})}$

Упростим показатель степени:

$\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) = -3 \cdot (\sqrt{3})^2 = -3 \cdot 3 = -9$

Теперь выражение имеет вид:

$(\sqrt[3]{6})^{-9}$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$:

$(6^{\frac{1}{3}})^{-9} = 6^{\frac{1}{3} \cdot (-9)} = 6^{-3}$

Вычислим окончательное значение:

$6^{-3} = \frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}$

Ответ: $\frac{1}{216}$.

3) $8^{\frac{2}{3}} - \left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75} + \left( \frac{1}{9} \right)^{1,5}$

Решим это выражение по частям.

Вычислим первый член: $8^{\frac{2}{3}}$.

$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$

Вычислим второй член: $\left( \frac{1}{16} \right)^{-0,75}$.

Преобразуем десятичный показатель в дробь: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.

$\left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$

Вычислим третий член: $\left( \frac{1}{9} \right)^{1,5}$.

Преобразуем десятичный показатель в дробь: $1,5 = \frac{3}{2}$.

$\left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( (\frac{1}{3})^2 \right)^{\frac{3}{2}} = (\frac{1}{3})^{2 \cdot \frac{3}{2}} = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

Теперь объединим все части:

$4 - 8 + \frac{1}{27} = -4 + \frac{1}{27} = -3\frac{27}{27} + \frac{1}{27} = -3\frac{26}{27}$

Ответ: $-3\frac{26}{27}$.

4) $\left( 64^{-\frac{1}{2}} + \frac{3}{8} \right)^0 \cdot \left( 343^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{2}} \right)$

Рассмотрим выражение по частям.

Первый множитель: $\left( 64^{-\frac{1}{2}} + \frac{3}{8} \right)^0$.

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Проверим, не равно ли нулю основание степени:

$64^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}$

Основание равно: $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Так как основание не равно нулю, то $\left( \frac{1}{2} \right)^0 = 1$.

Второй множитель: $\left( 343^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{2}} \right)$.

Вычислим каждое слагаемое в скобках:

$343^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$

$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$

Тогда второй множитель равен: $7 - 9 = -2$.

Перемножим результаты:

$1 \cdot (-2) = -2$

Ответ: -2.