Номер 96, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для упрощения выражения $\left(a^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{5}{6}}$ воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$\left(a^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}} = a^{\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6}} = a^{\frac{15}{24}}$

Сократим дробь в показателе степени, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

Таким образом, получаем:

$a^{\frac{5}{8}}$

Ответ: $a^{\frac{5}{8}}$

2) Для упрощения выражения $\left(a^{\frac{5}{6}}\right)^{\frac{3}{10}}$ применим то же свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Перемножим показатели степеней:

$\left(a^{\frac{5}{6}}\right)^{\frac{3}{10}} = a^{\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = a^{\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10}} = a^{\frac{15}{60}}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 15:

$\frac{15}{60} = \frac{15 \div 15}{60 \div 15} = \frac{1}{4}$

В результате упрощения получаем:

$a^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{4}}$

3) Упростим выражение $\left((a+x)^{\frac{2}{5}}\right)^{1\frac{1}{4}}$.

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь воспользуемся свойством $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, где основание $x = (a+x)$:

$\left((a+x)^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{5}{4}} = (a+x)^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4}} = (a+x)^{\frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 4}} = (a+x)^{\frac{10}{20}}$

Сократим дробь в показателе степени:

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Итоговое выражение:

$(a+x)^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $(a+x)^{\frac{1}{2}}$

4) Упростим выражение $\left[\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{4}}$.

Используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Основанием здесь является дробь $\frac{a-b}{a+b}$.

$\left[\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}}$

Перемножим показатели:

$-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Выражение принимает вид:

$\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Теперь воспользуемся свойством отрицательного показателя степени $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$, которое означает, что основание дроби переворачивается, а показатель становится положительным:

$\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^{\frac{1}{2}}$