Номер 90, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для преобразования степени с дробным показателем $11^{\frac{2}{3}}$ в корень используется основное свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном выражении основание $a = 11$, числитель показателя степени $m = 2$, а знаменатель $n = 3$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $11^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{11^2} = \sqrt[3]{121}$.
Ответ: $\sqrt[3]{121}$.

2) Выражение $0,7^{-\frac{5}{4}}$ содержит отрицательный дробный показатель. Для его преобразования в корень используется свойство $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$. Здесь основание $a = 0,7$, числитель показателя $m = 5$, и знаменатель $n = 4$. Применяя формулу, получаем: $0,7^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{0,7^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{0,7^5}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{0,7^5}}$.

3) В выражении $(\frac{3}{10})^{0,75}$ показатель степени является десятичной дробью. В первую очередь, преобразуем его в обыкновенную дробь: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Теперь исходное выражение можно записать как $(\frac{3}{10})^{\frac{3}{4}}$. Далее, используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ где $a = \frac{3}{10}$, $m = 3$ и $n = 4$, получаем: $(\frac{3}{10})^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{10})^3} = \sqrt[4]{\frac{3^3}{10^3}} = \sqrt[4]{\frac{27}{1000}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{\frac{27}{1000}}$.

4) В выражении $(-21)^{1\frac{1}{5}}$ показатель степени представлен в виде смешанного числа. Преобразуем его в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$. Таким образом, выражение становится $(-21)^{\frac{6}{5}}$. Степень с дробным показателем для отрицательного основания определена только в том случае, если знаменатель показателя является нечетным числом. В нашем случае знаменатель $n = 5$ — нечетный, поэтому выражение имеет смысл. Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: $(-21)^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{(-21)^6}$. Так как показатель степени под корнем четный ($6$), то $(-21)^6 = 21^6$, и выражение можно записать как $\sqrt[5]{21^6}$.
Ответ: $\sqrt[5]{(-21)^6}$.

5) В выражении $a^{-2,5}$ показатель степени — отрицательное десятичное число. Сначала преобразуем его в обыкновенную дробь: $-2,5 = -2\frac{5}{10} = -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$. Выражение принимает вид $a^{-\frac{5}{2}}$. Теперь используем свойство для отрицательной степени $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$. В данном случае $m = 5$ и $n = 2$. Так как знаменатель $n=2$ является четным числом, данное выражение определено только при $a > 0$. Получаем: $a^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{a^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^5}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a^5}}$.

6) В выражении $(b+1)^{1,5}$ преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь: $1,5 = 1\frac{5}{10} = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Выражение примет вид $(b+1)^{\frac{3}{2}}$. Основанием степени является выражение $(b+1)$. Поскольку знаменатель показателя $n=2$ — четное число, выражение определено при условии $b+1 \ge 0$, то есть $b \ge -1$. Применяя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a = (b+1)$, $m=3$, $n=2$, получаем: $(b+1)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(b+1)^3}$.
Ответ: $\sqrt{(b+1)^3}$.

7) В выражении $(a-2b)^{3\frac{1}{2}}$ преобразуем смешанный показатель степени в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$. Выражение можно записать как $(a-2b)^{\frac{7}{2}}$. Основание степени здесь $A = a-2b$. Так как знаменатель показателя $n=2$ является четным, выражение определено при $a-2b \ge 0$. Используя формулу $A^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{A^m}$, получаем: $(a-2b)^{\frac{7}{2}} = \sqrt{(a-2b)^7}$.
Ответ: $\sqrt{(a-2b)^7}$.

8) Выражение $(x-y^2)^{-\frac{7}{4}}$ содержит отрицательный дробный показатель. Основание степени $A = x-y^2$. Используем формулу для отрицательной степени $A^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{A^m}}$. В данном случае $m=7$ и $n=4$. Поскольку знаменатель показателя $n=4$ — четное число, выражение под корнем должно быть неотрицательным. А так как степень отрицательная, то основание не может быть равно нулю. Следовательно, выражение определено при $x-y^2 > 0$. Преобразование дает: $(x-y^2)^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{(x-y^2)^{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(x-y^2)^7}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{(x-y^2)^7}}$.