Номер 87, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Обозначим данное выражение через $x$: $x = \sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}} + \sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}}$. Возведем обе части в куб, используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:$x^3 = (16 + 8\sqrt{5}) + (16 - 8\sqrt{5}) + 3\sqrt[3]{(16 + 8\sqrt{5})(16 - 8\sqrt{5})} \cdot (\sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}} + \sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}})$.Заметим, что выражение в скобках в конце — это наш исходный $x$. Упростим произведение под корнем:$(16 + 8\sqrt{5})(16 - 8\sqrt{5}) = 16^2 - (8\sqrt{5})^2 = 256 - 64 \cdot 5 = 256 - 320 = -64$.Подставим найденные значения обратно в уравнение для $x^3$:$x^3 = 32 + 3\sqrt[3]{-64} \cdot x$$x^3 = 32 + 3(-4)x$$x^3 = 32 - 12x$.Получаем кубическое уравнение $x^3 + 12x - 32 = 0$. Подбором находим целый корень среди делителей свободного члена (-32). Проверка показывает, что $x=2$ является корнем: $2^3 + 12 \cdot 2 - 32 = 8 + 24 - 32 = 0$.Разделив многочлен $x^3 + 12x - 32$ на $(x-2)$, получим $(x-2)(x^2 + 2x + 16) = 0$. Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 16$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 16 = -60 < 0$. Следовательно, $x=2$ — единственное решение.Другой способ — заметить, что $16 + 8\sqrt{5} = (1+\sqrt{5})^3$ и $16 - 8\sqrt{5} = (1-\sqrt{5})^3$. Тогда выражение принимает вид:$\sqrt[3]{(1+\sqrt{5})^3} + \sqrt[3]{(1-\sqrt{5})^3} = (1+\sqrt{5}) + (1-\sqrt{5}) = 2$.Ответ: 2

2) По аналогии с предыдущей задачей, попробуем представить подкоренные выражения в виде полного куба $(a \pm b\sqrt{d})^3$. Для выражения $26 + 15\sqrt{3}$ ищем $(a+b\sqrt{3})^3 = a^3+3a^2b\sqrt{3}+3a(b\sqrt{3})^2+(b\sqrt{3})^3 = (a^3+9ab^2) + (3a^2b+3b^3)\sqrt{3}$.Составляем систему уравнений:$\begin{cases} a^3+9ab^2 = 26 \\ 3a^2b+3b^3 = 15 \end{cases}$Из второго уравнения: $3b(a^2+b^2) = 15$, или $b(a^2+b^2)=5$. Предполагая, что $a$ и $b$ — целые числа, легко подобрать $b=1$, тогда $a^2+1=5$, откуда $a^2=4$ и $a=2$.Проверим эти значения в первом уравнении: $2^3 + 9 \cdot 2 \cdot 1^2 = 8 + 18 = 26$. Верно.Таким образом, $26+15\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^3$ и, соответственно, $26-15\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^3$.Исходное выражение равно:$\sqrt[3]{(2-\sqrt{3})^3} + \sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^3} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$.Ответ: 4

3) Преобразуем все корни в степени с рациональными показателями и разложим числа на простые множители:$\sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5^3} = 5^{3/4}$.$\sqrt{\sqrt{5}} = (5^{1/2})^{1/2} = 5^{1/4}$.$\sqrt{5\sqrt{2}} = \sqrt{5 \cdot 2^{1/2}} = (5^1 \cdot 2^{1/2})^{1/2} = 5^{1/2} \cdot 2^{1/4}$.$\sqrt[4]{200} = \sqrt[4]{25 \cdot 8} = \sqrt[4]{5^2 \cdot 2^3} = 5^{2/4} \cdot 2^{3/4} = 5^{1/2} \cdot 2^{3/4}$.Подставим в выражение:$\frac{\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{\sqrt{5}}}{\sqrt{5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{200}} = \frac{5^{3/4} \cdot 5^{1/4}}{5^{1/2} \cdot 2^{1/4} \cdot 5^{1/2} \cdot 2^{3/4}} = \frac{5^{3/4+1/4}}{5^{1/2+1/2} \cdot 2^{1/4+3/4}} = \frac{5^1}{5^1 \cdot 2^1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Преобразуем все части выражения, используя степени с рациональными показателями:$\sqrt{3\sqrt{5}} = \sqrt{3 \cdot 5^{1/2}} = 3^{1/2} \cdot 5^{1/4}$.$\sqrt[4]{1125} = \sqrt[4]{225 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5^2 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5^3} = 3^{2/4} \cdot 5^{3/4} = 3^{1/2} \cdot 5^{3/4}$.$\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$.$\sqrt{5\sqrt[3]{5}} = \sqrt{5 \cdot 5^{1/3}} = \sqrt{5^{4/3}} = 5^{(4/3) \cdot (1/2)} = 5^{2/3}$.Выражение принимает вид:$\frac{(3^{1/2} \cdot 5^{1/4}) \cdot (3^{1/2} \cdot 5^{3/4})}{5^{1/3} \cdot 5^{2/3}} = \frac{3^{1/2+1/2} \cdot 5^{1/4+3/4}}{5^{1/3+2/3}} = \frac{3^1 \cdot 5^1}{5^1} = 3$.Ответ: 3

5) Перейдем к степеням с рациональными показателями с основанием 3:$\sqrt{\sqrt{3}} = (3^{1/2})^{1/2} = 3^{1/4}$.$\sqrt[3]{\sqrt{3}} = (3^{1/2})^{1/3} = 3^{1/6}$.$\sqrt{\sqrt[4]{3}} = (3^{1/4})^{1/2} = 3^{1/8}$.Подставим в исходное выражение:$3^{1/4} \cdot \left(\frac{3^{1/6}}{3^{1/8}}\right)^2 = 3^{1/4} \cdot \left(3^{1/6 - 1/8}\right)^2 = 3^{1/4} \cdot \left(3^{4/24 - 3/24}\right)^2 = 3^{1/4} \cdot \left(3^{1/24}\right)^2 = 3^{1/4} \cdot 3^{2/24} = 3^{1/4} \cdot 3^{1/12} = 3^{1/4+1/12} = 3^{3/12+1/12} = 3^{4/12} = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$.Ответ: $\sqrt[3]{3}$

6) Выполним действия по порядку, предварительно преобразовав корни в степени:$\sqrt{5\sqrt{5}} = \sqrt{5^{1} \cdot 5^{1/2}} = \sqrt{5^{3/2}} = 5^{3/4}$.$\sqrt{\sqrt[3]{5\sqrt{5}}} = \sqrt{\sqrt[3]{5^{3/2}}} = \sqrt{5^{(3/2)\cdot(1/3)}} = \sqrt{5^{1/2}} = 5^{1/4}$.$\sqrt[4]{5\sqrt[3]{5}} = \sqrt[4]{5^1 \cdot 5^{1/3}} = \sqrt[4]{5^{4/3}} = 5^{(4/3)\cdot(1/4)} = 5^{1/3}$.Выполним вычисления:$(5^{3/4} : 5^{1/4}) \cdot 5^{1/3} = 5^{3/4 - 1/4} \cdot 5^{1/3} = 5^{2/4} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/2} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/2+1/3} = 5^{3/6+2/6} = 5^{5/6} = \sqrt[6]{5^5} = \sqrt[6]{3125}$.Ответ: $\sqrt[6]{3125}$

7) Обозначим бесконечный корень через $x$: $x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}}$.Возведем обе части в куб: $x^3 = 2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}$.Разделим на 2: $\frac{x^3}{2} = \sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}$.Возведем еще раз в куб: $(\frac{x^3}{2})^3 = 4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}$.Заметим, что корень в правой части — это исходное выражение $x$.$\frac{x^9}{8} = 4x$.Умножим обе части на 8: $x^9 = 32x$.Так как $x>0$, можем разделить на $x$: $x^8=32$.Отсюда $x = \sqrt[8]{32}$.Ответ: $\sqrt[8]{32}$

8) Обозначим выражение через $y$: $y = \sqrt[5]{3\sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}}$.Возведем в 5-ю степень: $y^5 = 3\sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}$.Разделим на 3: $\frac{y^5}{3} = \sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}$.Возведем снова в 5-ю степень: $(\frac{y^5}{3})^5 = 9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}$.Правая часть содержит исходное выражение $y$.$\frac{y^{25}}{3^5} = 9y$.$y^{25} = 9 \cdot 3^5 \cdot y = 3^2 \cdot 3^5 \cdot y = 3^7 y$.Так как $y>0$, делим на $y$: $y^{24} = 3^7$.Отсюда $y = \sqrt[24]{3^7} = \sqrt[24]{2187}$.Ответ: $\sqrt[24]{2187}$