Номер 92, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы представить корень $n$-й степени из числа в степени $m$, то есть $\sqrt[n]{x^m}$, в виде степени с дробным показателем, используется формула: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
В данном выражении $\sqrt[3]{a^2}$ показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=2$.
Применяя формулу, получаем: $\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

2) Используем ту же формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Для выражения $\sqrt[5]{b^3}$ показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$.
Таким образом, получаем: $\sqrt[5]{b^3} = b^{\frac{3}{5}}$.
Ответ: $b^{\frac{3}{5}}$

3) В данном случае подкоренное выражение является суммой $(a^2 + b^2)$. Всё это выражение находится под кубическим корнем, что можно записать как $\sqrt[3]{(a^2 + b^2)^1}$.
Здесь показатель корня $n=3$, а показатель степени всего подкоренного выражения $m=1$.
Применяя формулу к выражению в скобках как к единому целому, получаем: $\sqrt[3]{a^2 + b^2} = (a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $(a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}$

4) Аналогично предыдущему примеру, подкоренное выражение — это разность $(x - y)$. Выражение можно записать как $\sqrt[3]{(x - y)^1}$.
Показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.
Следовательно: $\sqrt[3]{x - y} = (x - y)^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $(x - y)^{\frac{1}{3}}$

5) В выражении $\sqrt[5]{a^2b^3}$ подкоренное выражение является произведением. Показатель корня $n=5$.
Сначала представим корень в виде степени от всего произведения: $\sqrt[5]{a^2b^3} = (a^2b^3)^{\frac{1}{5}}$.
Далее, используя свойство степени произведения $(xy)^z = x^z y^z$, мы можем применить показатель степени к каждому множителю: $(a^2)^{\frac{1}{5}}(b^3)^{\frac{1}{5}}$.
Теперь, используя свойство степени степени $(x^p)^q = x^{pq}$, получаем окончательный вид: $a^{2 \cdot \frac{1}{5}} b^{3 \cdot \frac{1}{5}} = a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}$

6) Для выражения $\frac{1}{\sqrt{a}}$ сначала преобразуем знаменатель.
Квадратный корень $\sqrt{a}$ — это то же самое, что $\sqrt[2]{a^1}$. По формуле $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$ получаем: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$, получаем: $a^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{2}}$

7) Преобразуем знаменатель $\sqrt{a+b}$. Это квадратный корень из выражения $(a+b)$, что эквивалентно $\sqrt[2]{(a+b)^1}$.
Применяя формулу, получаем: $\sqrt{a+b} = (a+b)^{\frac{1}{2}}$.
Теперь все выражение выглядит как $\frac{1}{(a+b)^{\frac{1}{2}}}$.
Используя свойство $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$, получаем: $(a+b)^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $(a+b)^{-\frac{1}{2}}$

8) В выражении $\frac{2}{\sqrt[3]{a-b}}$ преобразуем знаменатель $\sqrt[3]{a-b}$.
Это кубический корень из выражения $(a-b)$, что эквивалентно $\sqrt[3]{(a-b)^1}$.
По формуле получаем: $\sqrt[3]{a-b} = (a-b)^{\frac{1}{3}}$.
Исходное выражение становится $\frac{2}{(a-b)^{\frac{1}{3}}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, переносим выражение из знаменателя в числитель: $2(a-b)^{-\frac{1}{3}}$.
Ответ: $2(a-b)^{-\frac{1}{3}}$