Номер 95, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $4^{1,5} - 9^{-0,5} + (\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}$
Для решения этого выражения, вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
1. Представим десятичные показатели степени в виде обыкновенных дробей: $1,5 = \frac{3}{2}$ и $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Вычислим первый член: $4^{1,5} = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.
2. Вычислим второй член: $9^{-0,5} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.
3. Вычислим третий член, используя свойство $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $:
$(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16$.
4. Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$8 - \frac{1}{3} + 16 = 24 - \frac{1}{3} = \frac{72}{3} - \frac{1}{3} = \frac{71}{3} = 23\frac{2}{3}$.
Ответ: $23\frac{2}{3}$.

2) $8^{\frac{2}{3}} - (\frac{1}{16})^{-0,75} + (\frac{1}{4})^{1,5}$
Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.
1. Первый член: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.
2. Второй член. Преобразуем десятичную степень в дробь: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.
$(\frac{1}{16})^{-0,75} = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.
3. Третий член. Преобразуем десятичную степень в дробь: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$(\frac{1}{4})^{1,5} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{4})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
4. Подставим результаты в исходное выражение:
$4 - 8 + \frac{1}{8} = -4 + \frac{1}{8} = -\frac{32}{8} + \frac{1}{8} = -\frac{31}{8} = -3\frac{7}{8}$.
Ответ: $-3\frac{7}{8}$.

3) $(125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}) \cdot (16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}})^0$
Сначала рассмотрим второй множитель $(16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}})^0$. Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. Проверим, не равно ли нулю его основание:
$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$.
$216^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{216} = 6$.
Основание степени равно $2 + 6 = 8$. Так как $8 \neq 0$, то $8^0 = 1$.
Теперь выражение упрощается до вычисления значения в первой скобке, умноженного на 1:
$125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}$.
Вычислим каждый член в скобке:
$125^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$.
$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.
Значение в первой скобке равно:
$\frac{1}{5} - 6 = \frac{1}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{29}{5} = -5,8$.
Итоговый результат:
$(-\frac{29}{5}) \cdot 1 = -5,8$.
Ответ: $-5,8$.

4) $(\frac{2}{5})^{-3} \cdot (6\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$
Вычислим каждый множитель отдельно.
1. Первый множитель: $(\frac{2}{5})^{-3} = (\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.
2. Второй множитель. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.
Теперь возведем в степень:
$(\frac{25}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{25})^{\frac{3}{2}} = \left( \sqrt{\frac{4}{25}} \right)^3 = (\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}})^3 = (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.
3. Перемножим полученные результаты:
$\frac{125}{8} \cdot \frac{8}{125} = 1$.
Ответ: $1$.