Номер 93, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $4^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} \cdot 32^{-\frac{4}{5}} \cdot 2^3$
Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.
Сначала упростим произведение множителей с основанием 16, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4} + (-\frac{3}{4})} = 16^0 = 1$.
Теперь выражение принимает вид:
$4^{\frac{1}{2}} \cdot 1 \cdot 32^{-\frac{4}{5}} \cdot 2^3$.
Приведем все основания к общему основанию 2:
$4 = 2^2$, поэтому $4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2$.
$32 = 2^5$, поэтому $32^{-\frac{4}{5}} = (2^5)^{-\frac{4}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-4}$.
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$2^1 \cdot 2^{-4} \cdot 2^3$.
Сложим показатели степеней:
$2^{1 - 4 + 3} = 2^0 = 1$.
Ответ: 1

2) $27^{\frac{1}{3}} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot (\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{2}{3})^3$
Приведем все основания к простым числам (2 и 3) и воспользуемся свойствами степеней $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.
$81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.
$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{(2^3)^{\frac{1}{3}}}{(3^3)^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}$.
Подставим все в исходное выражение:
$3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3})^3$.
Выполним вычисления:
$3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2^3}{3^3} = 3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{27}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{3 \cdot 27 \cdot 2 \cdot 8}{3 \cdot 27} = 2 \cdot 8 = 16$.
Ответ: 16

3) $64^{\frac{2}{3}} : 64^{\frac{1}{2}}$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$64^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}$.
Вычислим разность в показателе степени, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1 \cdot 3}{6} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
Получаем $64^{\frac{1}{6}}$.
Представим основание 64 как степень числа 2: $64 = 2^6$.
$(2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

4) $729^{\frac{1}{2}} : 729^{\frac{1}{3}}$
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$729^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$.
Вычислим разность в показателе степени, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{6} - \frac{1 \cdot 2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.
Получаем $729^{\frac{1}{6}}$.
Представим основание 729 как степень числа 3. Так как $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
$(3^6)^{\frac{1}{6}} = 3^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3