Номер 94, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для упрощения выражения $a^{1\frac{3}{4}} : a^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{3}{4}$ в неправильную:

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Теперь выражение выглядит так: $a^{\frac{7}{4}} : a^{\frac{2}{3}}$.

Вычитаем показатели степеней:

$a^{\frac{7}{4} - \frac{2}{3}}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.

$\frac{7}{4} - \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{21}{12} - \frac{8}{12} = \frac{21 - 8}{12} = \frac{13}{12}$.

Таким образом, результат упрощения: $a^{\frac{13}{12}}$.

Ответ: $a^{\frac{13}{12}}$

2) Упростим выражение $(x + y)^{\frac{4}{5}} : (x + y)^{\frac{2}{5}}$. Основанием степени здесь является выражение $(x+y)$.

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(x + y)^{\frac{4}{5} - \frac{2}{5}}$

Выполним вычитание в показателе степени:

$\frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4-2}{5} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, упрощенное выражение равно $(x + y)^{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $(x + y)^{\frac{2}{5}}$

3) Для упрощения выражения $a^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{3}{5}} \cdot a^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{3}{4}}) \cdot (x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{2}{3}})$

Упростим первую группу (с основанием $a$):

$a^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}}$

Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}$.

Получаем $a^{\frac{17}{12}}$.

Теперь упростим вторую группу (с основанием $x$):

$x^{\frac{3}{5} + \frac{2}{3}}$

Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} = \frac{9 + 10}{15} = \frac{19}{15}$.

Получаем $x^{\frac{19}{15}}$.

Объединяем результаты:

$a^{\frac{17}{12}} x^{\frac{19}{15}}$

Ответ: $a^{\frac{17}{12}} x^{\frac{19}{15}}$

4) Упростим выражение $b^{\frac{7}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{3}{4}}$.

Используем то же правило умножения степеней с одинаковым основанием, что и в предыдущем примере. Сгруппируем множители:

$(b^{\frac{7}{12}} \cdot b^{\frac{2}{3}}) \cdot (y^{\frac{5}{6}} \cdot y^{\frac{3}{4}})$

Упростим первую группу (с основанием $b$):

$b^{\frac{7}{12} + \frac{2}{3}}$

Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{12} + \frac{2}{3} = \frac{7}{12} + \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{7 + 8}{12} = \frac{15}{12}$.

Сократим дробь: $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

Получаем $b^{\frac{5}{4}}$.

Теперь упростим вторую группу (с основанием $y$):

$y^{\frac{5}{6} + \frac{3}{4}}$

Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 2}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}$.

Получаем $y^{\frac{19}{12}}$.

Объединяем результаты:

$b^{\frac{5}{4}} y^{\frac{19}{12}}$

Ответ: $b^{\frac{5}{4}} y^{\frac{19}{12}}$