Номер 101, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное выражение: $ \frac{a^{-\frac{1}{2}}\sqrt{a^3}}{a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}}} $.
Сначала преобразуем корень в числителе в степенную форму: $ \sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}} $.
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}}} $.
Упростим числитель, используя свойство степеней $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $: $ a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = a^{\frac{2}{2}} = a^1 = a $.
Упростим знаменатель, используя то же свойство: $ a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}} = a^{-\frac{1}{4} + \frac{7}{6}} $. Чтобы сложить показатели, приведем дроби к общему знаменателю 12: $ -\frac{1}{4} = -\frac{3}{12} $ и $ \frac{7}{6} = \frac{14}{12} $. Тогда сумма показателей равна $ -\frac{3}{12} + \frac{14}{12} = \frac{11}{12} $. Знаменатель равен $ a^{\frac{11}{12}} $.
Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $: $ \frac{a^1}{a^{\frac{11}{12}}} = a^{1 - \frac{11}{12}} = a^{\frac{12}{12} - \frac{11}{12}} = a^{\frac{1}{12}} $.
Ответ: $ a^{\frac{1}{12}} $

2) Исходное выражение: $ \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{x}}{x^{-\frac{4}{3}}} $.
Преобразуем корень в числителе в степенную форму: $ \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} $.
Выражение принимает вид: $ \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{-\frac{4}{3}}} $.
Упростим числитель, сложив показатели степеней: $ x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} $.
Теперь упростим дробь, вычитая показатель степени знаменателя из показателя степени числителя: $ \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{-\frac{4}{3}}} = x^{\frac{2}{3} - (-\frac{4}{3})} = x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} = x^{\frac{6}{3}} = x^2 $.
Ответ: $ x^2 $

3) Исходное выражение: $ \frac{a - 16a^{0.5}}{5a^{0.25} + 20} $.
Для удобства введем замену. Пусть $ x = a^{0.25} $. Тогда $ x^2 = (a^{0.25})^2 = a^{0.5} $ и $ x^4 = (a^{0.25})^4 = a $.
Подставим новую переменную в исходное выражение.
Числитель становится: $ a - 16a^{0.5} = x^4 - 16x^2 $.
Знаменатель становится: $ 5a^{0.25} + 20 = 5x + 20 $.
Получаем новую дробь: $ \frac{x^4 - 16x^2}{5x + 20} $.
Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $ x^2 $ и применив формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $: $ x^4 - 16x^2 = x^2(x^2 - 16) = x^2(x-4)(x+4) $.
Разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель 5: $ 5x + 20 = 5(x+4) $.
Дробь примет вид: $ \frac{x^2(x-4)(x+4)}{5(x+4)} $.
Сократим общий множитель $ (x+4) $ в числителе и знаменателе: $ \frac{x^2(x-4)}{5} $.
Выполним обратную замену $ x = a^{0.25} $: $ \frac{(a^{0.25})^2(a^{0.25}-4)}{5} = \frac{a^{0.5}(a^{0.25}-4)}{5} $.
Ответ: $ \frac{a^{0.5}(a^{0.25}-4)}{5} $

4) Исходное выражение: $ \frac{x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} $.
Преобразуем корни в знаменателе в степени: $ \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} $ и $ \sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}} $.
Выражение примет вид: $ \frac{x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}} $.
Вынесем общий множитель в числителе. Наименьшая степень $ x $ это $ x^1 $, а наименьшая степень $ y $ это $ y^1 $. Выносим за скобки $ xy $:
$ x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}} = xy(x^{\frac{4}{3}-1} + y^{\frac{4}{3}-1}) = xy(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}) $.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $ \frac{xy(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}} $.
Сократим общий множитель $ (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}) $ в числителе и знаменателе.
В результате упрощения получаем: $ xy $.
Ответ: $ xy $