Номер 106, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Упростим данное выражение по частям, преобразуя каждую дробь.

Преобразуем первую дробь $ \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}} $. Для избавления от отрицательных и дробных степеней умножим числитель и знаменатель на $a^{\frac{1}{3}}$:

$ \frac{2a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}) \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \frac{2a^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}} = \frac{2a^0}{a^1 - 3a^0} = \frac{2 \cdot 1}{a - 3 \cdot 1} = \frac{2}{a-3} $.

Преобразуем вторую дробь $ \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} $. Вынесем в знаменателе общий множитель $a^{\frac{2}{3}}$ за скобки:

$ \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} - 1)} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1)} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a - 1)} = \frac{1}{a-1} $.

Преобразуем третью дробь $ \frac{a+1}{a^2 - 4a + 3} $. Разложим квадратный трехчлен в знаменателе на множители. Для этого найдем корни уравнения $a^2 - 4a + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $a_1=1$ и $a_2=3$.

Следовательно, $a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3)$. Дробь принимает вид $ \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $.

Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:

$ \frac{2}{a-3} - \frac{1}{a-1} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(a-3)$:

$ \frac{2(a-1)}{(a-1)(a-3)} - \frac{1(a-3)}{(a-1)(a-3)} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} = \frac{2(a-1) - (a-3) - (a+1)}{(a-1)(a-3)} $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2a - 2 - a + 3 - a - 1}{(a-1)(a-3)} = \frac{(2a-a-a) + (-2+3-1)}{(a-1)(a-3)} = \frac{0a + 0}{(a-1)(a-3)} = \frac{0}{(a-1)(a-3)} = 0 $.

Область допустимых значений переменной $a$ определяется условиями: $a > 0$, $a \neq 1$, $a \neq 3$.

Ответ: $0$.

2)

Сначала упростим выражение, стоящее в скобках. Начнем с дроби $ \frac{x^{\frac{4}{3}} + 8x^{\frac{1}{3}}y}{x^{\frac{2}{3}} - 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}}} $.

Перепишем знаменатель, используя степени с рациональным показателем: $ x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}} $.

Заметим, что знаменатель является неполным квадратом разности выражений $A=x^{\frac{1}{3}}$ и $B=2y^{\frac{1}{3}}$, т.е. имеет вид $ A^2 - AB + B^2 $:

$ (x^{\frac{1}{3}})^2 - (x^{\frac{1}{3}})(2y^{\frac{1}{3}}) + (2y^{\frac{1}{3}})^2 $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$:

$ x^{\frac{1}{3}}(x + 8y) $.

Выражение в скобках $x+8y$ можно представить в виде суммы кубов: $x+8y = (x^{\frac{1}{3}})^3 + (2y^{\frac{1}{3}})^3$.

Применим формулу суммы кубов $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$, где $A=x^{\frac{1}{3}}$ и $B=2y^{\frac{1}{3}}$:

$ x+8y = (x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) $.

Подставим разложение числителя в дробь:

$ \frac{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}} $.

Сократим дробь на выражение $ (x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}) $, которое не равно нулю (кроме случая $x=y=0$):

$ x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}}) = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение в скобках:

$ (x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy} - 2\sqrt[3]{xy}) = x^{\frac{2}{3}} $.

Осталось возвести полученное выражение в степень 6:

$ (x^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{2}{3} \cdot 6} = x^{\frac{12}{3}} = x^4 $.

Ответ: $x^4$.