Номер 102, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для доказательства равенства преобразуем его левую и правую части, приведя все степени к основанию 2. Предполагается, что в выражении опечатка и оно должно выглядеть как $(\frac{1}{2})^{12} \cdot 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (\frac{1}{8})^{\sqrt{27}} \cdot 16^3 = (4^{\sqrt{3}})^{-4}$, так как только в этом случае равенство справедливо.
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{12} \cdot 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (\frac{1}{8})^{\sqrt{27}} \cdot 16^3$.
Сначала упростим основания и показатели: $\frac{1}{2}=2^{-1}$, $4=2^2$, $\frac{1}{8}=2^{-3}$, $16=2^4$, $\sqrt{27}=\sqrt{9 \cdot 3}=3\sqrt{3}$.
Подставим эти значения и вычислим: $(2^{-1})^{12} \cdot (2^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (2^{-3})^{3\sqrt{3}} \cdot (2^4)^3 = 2^{-12} \cdot 2^{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 2^{-3 \cdot 3\sqrt{3}} \cdot 2^{4 \cdot 3} = 2^{-12} \cdot 2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-9\sqrt{3}} \cdot 2^{12}$.
Сложив показатели, получаем: $2^{-12+\sqrt{3}-9\sqrt{3}+12} = 2^{-8\sqrt{3}}$.
Правая часть: $(4^{\sqrt{3}})^{-4}$.
Преобразуем аналогично: $((2^2)^{\sqrt{3}})^{-4} = (2^{2\sqrt{3}})^{-4} = 2^{-8\sqrt{3}}$.
Левая часть равна правой: $2^{-8\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}$.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства преобразуем его левую и правую части, приведя все основания к простым множителям 2 и 3.
Левая часть: $\frac{12^{\sqrt{48}}}{4^{\sqrt{108}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{6^{\sqrt{27}}}$.
Сначала упростим показатели и основания: $\sqrt{48}=\sqrt{16 \cdot 3}=4\sqrt{3}$, $\sqrt{108}=\sqrt{36 \cdot 3}=6\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=\sqrt{9 \cdot 3}=3\sqrt{3}$, $12=2^2 \cdot 3$, $4=2^2$, $6=2 \cdot 3$.
Подставим и упростим выражение: $\frac{(2^2 \cdot 3)^{4\sqrt{3}}}{(2^2)^{6\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{(2 \cdot 3)^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{2 \cdot 4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{2 \cdot 6\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$.
Сгруппируем степени по основаниям и вычислим показатели: $2^{8\sqrt{3}-12\sqrt{3}+27\sqrt{3}-3\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}-3\sqrt{3}} = 2^{(8-12+27-3)\sqrt{3}} \cdot 3^{(4-3)\sqrt{3}} = 2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.
Правая часть: $(6 \cdot 2^{19})^{\sqrt{3}}$.
Преобразуем: $6^{\sqrt{3}} \cdot (2^{19})^{\sqrt{3}} = (2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{19\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \cdot 2^{19\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}+19\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} = 2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.
Левая часть равна правой: $2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} = 2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.
Ответ: Равенство доказано.