Номер 97, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. При этом показатели степеней перемножаются.$(49^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = 49^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 49^{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}} = 49^{\frac{6}{12}} = 49^{\frac{1}{2}}$.Степень с дробным показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня.$49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$.Ответ: $7$

2) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.$(625^{-\frac{3}{8}})^{\frac{2}{3}} = 625^{-\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = 625^{-\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3}} = 625^{-\frac{6}{24}} = 625^{-\frac{1}{4}}$.Отрицательный показатель степени означает, что нужно взять обратное значение числа, возведенного в степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.$625^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{625^{\frac{1}{4}}}$.Степень с показателем $\frac{1}{4}$ — это корень четвертой степени.$\frac{1}{625^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{625}}$.Так как $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.Таким образом, получаем $\frac{1}{5}$.Ответ: $\frac{1}{5}$

3) Применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.$(64^{\frac{1}{4}})^{-\frac{2}{3}} = 64^{\frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} = 64^{-\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 3}} = 64^{-\frac{2}{12}} = 64^{-\frac{1}{6}}$.Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.$64^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{6}}}$.Степень с показателем $\frac{1}{6}$ — это корень шестой степени.$\frac{1}{64^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{64}}$.Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.В итоге получаем $\frac{1}{2}$.Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.$((\frac{4}{25})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = (\frac{4}{25})^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = (\frac{4}{25})^{\frac{6}{12}} = (\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}}$.При возведении дроби в степень, в эту степень возводятся и числитель, и знаменатель: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.$(\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}} = \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$.Ответ: $\frac{2}{5}$

5) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.Теперь выражение имеет вид: $((\frac{27}{8})^{-\frac{5}{2}})^{\frac{2}{15}}$.Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(\frac{27}{8})^{-\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{15}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 15}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{10}{30}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}}$.Отрицательная степень дроби "переворачивает" дробь: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{6}{25} = \frac{3 \cdot 25 + 6}{25} = \frac{75+6}{25} = \frac{81}{25}$.Выражение принимает вид: $((\frac{81}{25})^{-\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$.Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(\frac{81}{25})^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = (\frac{81}{25})^{-\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}} = (\frac{81}{25})^{-\frac{6}{12}} = (\frac{81}{25})^{-\frac{1}{2}}$.Используем свойство отрицательной степени для дроби $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:$(\frac{81}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{25}{81})^{\frac{1}{2}} = \frac{25^{\frac{1}{2}}}{81^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}$.Ответ: $\frac{5}{9}$