Номер 104, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) В данном случае мы сравниваем два числа с одинаковым показателем степени $\sqrt{5}$. Показатель степени является положительным числом ($\sqrt{5} \approx 2.236 > 0$). Для степенной функции $y = x^a$ с положительным показателем ($a > 0$) и положительным основанием ($x > 0$) верно, что большему значению основания соответствует большее значение функции. Поэтому нам нужно сравнить основания: $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{8}$. Это дроби с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $8 < 9$, то $\frac{2}{8} > \frac{2}{9}$. Следовательно, $(\frac{2}{8})^{\sqrt{5}} > (\frac{2}{9})^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}} < (\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$.

2) В этом примере мы сравниваем два числа с одинаковым отрицательным показателем степени $-\sqrt{3}$. Для степенной функции $y = x^a$ с отрицательным показателем ($a < 0$) и положительным основанием ($x > 0$) верно, что большему значению основания соответствует меньшее значение функции (функция является убывающей). Сравним основания: $\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\frac{3\sqrt{5}}{4}$. Мы можем разделить оба числа на положительное число $\sqrt{5}$, при этом знак неравенства не изменится: $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Приводя к общему знаменателю 12, получаем $\frac{4}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Так как $4 < 9$, то $\frac{4}{12} < \frac{9}{12}$, а значит $\frac{\sqrt{5}}{3} < \frac{3\sqrt{5}}{4}$. Поскольку показатель степени отрицательный, знак неравенства между степенями будет противоположным. Таким образом, $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$.

3) Здесь мы сравниваем числа с одинаковым положительным показателем степени $1.2$. Как и в первом пункте, функция является возрастающей. Сравним основания: $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{6}$. Это дроби с одинаковым числителем $\pi$. Больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $5 < 6$, то $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{6}$. Поскольку функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. Следовательно, $(\frac{\pi}{5})^{1.2} > (\frac{\pi}{6})^{1.2}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{5})^{1.2} > (\frac{\pi}{6})^{1.2}$.

4) В этом случае мы сравниваем числа с одинаковым отрицательным показателем степени $-2.8$. Как и во втором пункте, функция является убывающей, поэтому большему основанию будет соответствовать меньшее значение степени. Сравним основания: $\frac{\sqrt[4]{2}}{3}$ и $\frac{\sqrt[4]{2}}{2}$. У этих дробей одинаковые числители $\sqrt[4]{2}$. Больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $2 < 3$, то $\frac{\sqrt[4]{2}}{2} > \frac{\sqrt[4]{2}}{3}$. Поскольку показатель степени отрицательный, знак неравенства для степеней будет обратным. Таким образом, $(\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8} < (\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8} > (\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$.