Вопросы, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Иррационал өрнектерді түрлендіру тәсілдерін қандай жағдайларда қолданған ыңғайлы?

Иррационал өрнектерді түрлендіру тәсілдері келесі жағдайларда ыңғайлы және қажетті болып табылады:

• Өрнекті ықшамдау үшін: Есептеулерді жеңілдету немесе өрнектің құрылымын қарапайым ету мақсатында. Мысалы, $ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1 $.

• Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан арылу үшін: Бұл өрнектің мәнін бағалауды және онымен ары қарай жұмыс істеуді жеңілдетеді. Бұл үшін бөлімі мен алымын бөлімінің түйіндесіне көбейтеді. Мысалы, $ \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2 $.

• Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде: Түрлендірулер теңдеуді немесе теңсіздікті стандартты түрге келтіруге көмектеседі. Мысалы, түбір астындағы өрнекті дәрежеге шығару арқылы.

• Көбейткішті түбір белгісінің алдына шығару немесе түбір белгісінің астына енгізу: Бұл өрнектерді салыстыруға немесе оларды қосып-азайтуға мүмкіндік береді. Мысалы, $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $ немесе $ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18} $.

• Иррационал өрнектерді көбейткіштерге жіктеу: Бұл бөлшектерді қысқартуға немесе теңдеулерді шешуге қажет болуы мүмкін. Мысалы, $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $ ($a \ge 0, b \ge 0$).

• Өрнектердің мәндерін салыстыру: Түрлендірулер арқылы қай өрнектің үлкен немесе кіші екенін анықтау оңайырақ болады. Мысалы, $ 3\sqrt{2} $ және $ 2\sqrt{3} $ сандарын салыстыру үшін, оларды $ \sqrt{18} $ және $ \sqrt{12} $ түріне келтіреміз. Осыдан $ \sqrt{18} > \sqrt{12} $ екені көрінеді.

Ответ: Иррационал өрнектерді түрлендіру тәсілдері өрнектерді ықшамдау, бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылу, теңдеулерді шешу, көбейткіштерге жіктеу және өрнектерді салыстыру сияқты көптеген математикалық амалдарды орындауды жеңілдету үшін қолданылады.

2. Рационал және иррационал өрнектерді түрлендіруде айырмашылық бар ма?

Иә, рационал және иррационал өрнектерді түрлендіруде айтарлықтай айырмашылықтар бар. Негізгі айырмашылықтар мыналар:

• Қолданылатын амалдар: Рационал өрнектерді түрлендіруде негізінен көпмүшелермен жасалатын амалдар, ортақ бөлімге келтіру, қысқаша көбейту формулаларын қолдану сияқты стандартты алгебралық әдістер қолданылады. Иррационал өрнектерді түрлендіруде бұларға қоса түбірлердің қасиеттеріне негізделген арнайы әдістер қолданылады.

• Түбірлермен жұмыс істеу: Иррационал өрнектерде түбір (радикал) белгісі болады. Сондықтан оларды түрлендіру кезінде түбірлердің қасиеттерін білу маңызды:
$ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
$ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $
$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} $
Рационал өрнектерде мұндай амалдар кездеспейді.

• Анықталу облысы (Мүмкін мәндер жиыны): Иррационал өрнектерді, әсіресе жұп дәрежелі түбірлері бар өрнектерді түрлендіргенде, олардың анықталу облысын ескеру өте маңызды. Түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек (мысалы, $ \sqrt{A} $ өрнегінде $ A \ge 0 $). Сондай-ақ, $ \sqrt{x^2}=|x| $ теңдігін ұмытпау керек. Рационал өрнектерде негізгі шектеу – бөлшектің бөлімі нөлге тең болмауы.

• Иррационалдықтан арылу: Бұл тек иррационал өрнектерге тән түрлендіру. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу үшін алымы мен бөлімін түйіндес өрнекке көбейту әдісі жиі қолданылады. Бұл амал рационал өрнектерде қажет емес.

Ответ: Иә, айырмашылық бар. Иррационал өрнектерді түрлендіру түбірлердің қасиеттерін, анықталу облысын қатаң ескеруді және иррационалдықтан арылу сияқты арнайы әдістерді қолдануды талап етеді, ал рационал өрнектерді түрлендіру стандартты алгебралық амалдарға негізделген.

3. (1) формуланы дәлелдеу кезінде бұрыннан белгілі қандай білімдерді қолдандыңдар?

Мәтінмәнді ескере отырып, "(1) формула" деп бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан арылу үшін қолданылатын әдіс немесе соған қатысты формула айтылып отыр деп болжауға болады. Мысалы, $ \frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} $ түріндегі өрнекті түрлендіруді қарастырайық. Осы түрлендіруді (формуланы) "дәлелдеу" үшін, яғни негіздеу үшін, келесі бұрыннан белгілі білімдер қолданылады:

• Бөлшектің негізгі қасиеті: Бөлшектің алымы мен бөлімін нөлден өзге бірдей санға немесе өрнекке көбейткенде, бөлшектің мәні өзгермейді. Яғни, $ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $ (мұнда $ B \neq 0, C \neq 0 $).

• Квадраттар айырымының формуласы (қысқаша көбейту формуласы): Екі өрнектің айырымы мен қосындысының көбейтіндісі олардың квадраттарының айырымына тең: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $. Бұл формула түйіндес көбейткіштерді пайдаланудың негізі болып табылады.

• Түйіндес өрнектер ұғымы:$ \sqrt{a} - \sqrt{b} $ және $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ сияқты өрнектер өзара түйіндес деп аталады. Олардың көбейтіндісі рационал өрнекке айналады.

• Квадрат түбірдің қасиеті: Теріс емес санның квадрат түбірінің квадраты сол санның өзіне тең: $ (\sqrt{a})^2 = a $ (мұнда $ a \ge 0 $).

Осы білімдерді қолдану арқылы $ \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} $ өрнегін түрлендіруге болады: алымы мен бөлімін бөлімінің түйіндесіне, яғни $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $-ге көбейтеміз. Нәтижесінде бөлімі $ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b $ болып, иррационалдықтан арыламыз.

Ответ: (1) формуланы (бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан арылуды) дәлелдеу үшін бөлшектің негізгі қасиеті, квадраттар айырымының формуласы, түйіндес өрнектер ұғымы және квадрат түбірдің қасиеті сияқты бұрыннан белгілі білімдер қолданылады.