Номер 115, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для упрощения выражения $ \sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}} $ воспользуемся методом выделения полного квадрата подкоренного выражения.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $ a - 1 \ge 0 $, откуда $ a \ge 1 $. Также должны быть неотрицательными и сами подкоренные выражения, что мы проверим далее.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $ a + 2\sqrt{a - 1} $. Представим $ a $ как $ (a - 1) + 1 $:
$ (a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1 = (\sqrt{a - 1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a - 1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a - 1} + 1)^2 $.
Это выражение всегда неотрицательно, так как является полным квадратом.

Рассмотрим второе подкоренное выражение: $ a - 2\sqrt{a - 1} $. Аналогично, представим $ a $ как $ (a - 1) + 1 $:
$ (a - 1) - 2\sqrt{a - 1} + 1 = (\sqrt{a - 1})^2 - 2 \cdot \sqrt{a - 1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a - 1} - 1)^2 $.
Это выражение также всегда неотрицательно. Таким образом, ОДЗ для всего выражения: $ a \ge 1 $.

Теперь подставим полученные полные квадраты в исходное выражение:
$ \sqrt{(\sqrt{a - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a - 1} - 1)^2} $

Используя свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $, получаем:
$ |\sqrt{a - 1} + 1| + |\sqrt{a - 1} - 1| $

Поскольку при $ a \ge 1 $ корень $ \sqrt{a - 1} \ge 0 $, то сумма $ \sqrt{a - 1} + 1 $ всегда положительна. Следовательно, первый модуль раскрывается однозначно:
$ |\sqrt{a - 1} + 1| = \sqrt{a - 1} + 1 $.
Выражение принимает вид:
$ \sqrt{a - 1} + 1 + |\sqrt{a - 1} - 1| $

Для раскрытия второго модуля необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения $ \sqrt{a - 1} - 1 $.

Случай 1: $ \sqrt{a - 1} - 1 \ge 0 $
Это неравенство выполняется при $ \sqrt{a - 1} \ge 1 $, то есть $ a - 1 \ge 1 $, или $ a \ge 2 $. В этом случае $ |\sqrt{a - 1} - 1| = \sqrt{a - 1} - 1 $.
Выражение становится равным:
$ (\sqrt{a - 1} + 1) + (\sqrt{a - 1} - 1) = \sqrt{a - 1} + 1 + \sqrt{a - 1} - 1 = 2\sqrt{a - 1} $.

Случай 2: $ \sqrt{a - 1} - 1 < 0 $
Это неравенство выполняется при $ \sqrt{a - 1} < 1 $, то есть $ a - 1 < 1 $, или $ a < 2 $. С учетом ОДЗ ($ a \ge 1 $), этот случай соответствует интервалу $ 1 \le a < 2 $. В этом случае $ |\sqrt{a - 1} - 1| = -(\sqrt{a - 1} - 1) = 1 - \sqrt{a - 1} $.
Выражение становится равным:
$ (\sqrt{a - 1} + 1) + (1 - \sqrt{a - 1}) = \sqrt{a - 1} + 1 + 1 - \sqrt{a - 1} = 2 $.

Таким образом, значение выражения зависит от значения $ a $.

Ответ: $ \begin{cases} 2\sqrt{a - 1}, & \text{при } a \ge 2 \\ 2, & \text{при } 1 \le a < 2 \end{cases} $