Номер 119, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $(\frac{2\sqrt{x}}{x^2})^{-3} - ((x\sqrt{x})^{-1})^{-\frac{1}{2}} + \sqrt{\sqrt{x^3}}$

Упростим каждый член выражения по отдельности. Для этого представим корни в виде степеней с дробными показателями.

Первый член: $(\frac{2\sqrt{x}}{x^2})^{-3} = (\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x^2})^{-3} = (2x^{\frac{1}{2}-2})^{-3} = (2x^{-\frac{3}{2}})^{-3} = 2^{-3} \cdot (x^{-\frac{3}{2}})^{-3} = \frac{1}{8}x^{(-\frac{3}{2}) \cdot (-3)} = \frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}}$.

Второй член: $-((x\sqrt{x})^{-1})^{-\frac{1}{2}} = -((x \cdot x^{\frac{1}{2}})^{-1})^{-\frac{1}{2}} = -((x^{\frac{3}{2}})^{-1})^{-\frac{1}{2}} = -(x^{-\frac{3}{2}})^{-\frac{1}{2}} = -x^{(-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{1}{2})} = -x^{\frac{3}{4}}$.

Третий член: $\sqrt{\sqrt{x^3}} = \sqrt{(x^3)^{\frac{1}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$.

Теперь объединим все упрощенные члены:

$\frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}} - x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}}$

2) $[(\sqrt[3]{x})^{-\frac{1}{2}}]^{\frac{6}{5}} - [(\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{-\frac{4}{3}}]^{-\frac{3}{5}}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Первое слагаемое: $[(\sqrt[3]{x})^{-\frac{1}{2}}]^{\frac{6}{5}} = [(x^{\frac{1}{3}})^{-\frac{1}{2}}]^{\frac{6}{5}} = [x^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{2})}]^{\frac{6}{5}} = (x^{-\frac{1}{6}})^{\frac{6}{5}} = x^{-\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5}} = x^{-\frac{1}{5}}$.

Второе слагаемое: $- [(\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{-\frac{4}{3}}]^{-\frac{3}{5}} = - [(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})^{-\frac{4}{3}}]^{-\frac{3}{5}} = - [(x^{-\frac{1}{4}})^{-\frac{4}{3}}]^{-\frac{3}{5}} = - [x^{(-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{4}{3})}]^{-\frac{3}{5}} = - (x^{\frac{1}{3}})^{-\frac{3}{5}} = -x^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{5})} = -x^{-\frac{1}{5}}$.

Теперь вычтем второе слагаемое из первого:

$x^{-\frac{1}{5}} - x^{-\frac{1}{5}} = 0$.

Ответ: $0$

3) $(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}})^{-\frac{4}{5}} - (\sqrt[3]{x^2 \sqrt{x^3}})^{\frac{6}{7}}$

Упростим каждый член выражения по отдельности.

Первый член: $(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}})^{-\frac{4}{5}} = (\frac{x^2}{x^{\frac{3}{4}}})^{-\frac{4}{5}} = (x^{2-\frac{3}{4}})^{-\frac{4}{5}} = (x^{\frac{5}{4}})^{-\frac{4}{5}} = x^{\frac{5}{4} \cdot (-\frac{4}{5})} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Второй член: $-(\sqrt[3]{x^2 \sqrt{x^3}})^{\frac{6}{7}} = -(\sqrt[3]{x^2 \cdot x^{\frac{3}{2}}})^{\frac{6}{7}} = -(\sqrt[3]{x^{2+\frac{3}{2}}})^{\frac{6}{7}} = -(\sqrt[3]{x^{\frac{7}{2}}})^{\frac{6}{7}} = -((x^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{6}{7}} = -(x^{\frac{7}{6}})^{\frac{6}{7}} = -x^{\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7}} = -x$.

Объединим упрощенные члены:

$\frac{1}{x} - x$.

Ответ: $\frac{1}{x} - x$

4) $\sqrt{1+(\frac{x^2-1}{2x})^2} : ((x^2+1) \cdot \frac{1}{x})$

Упростим выражение по частям. Сначала упростим делимое (выражение под корнем):

$1+(\frac{x^2-1}{2x})^2 = 1 + \frac{(x^2-1)^2}{(2x)^2} = \frac{4x^2}{4x^2} + \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{4x^2} = \frac{4x^2 + x^4 - 2x^2 + 1}{4x^2} = \frac{x^4 + 2x^2 + 1}{4x^2} = \frac{(x^2+1)^2}{(2x)^2}$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{(x^2+1)^2}{(2x)^2}} = |\frac{x^2+1}{2x}| = \frac{x^2+1}{|2x|}$, так как $x^2+1$ всегда положительно.

Теперь упростим делитель:

$(x^2+1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x}$.

Выполним деление. Выражение определено при $x \neq 0$.

$\frac{x^2+1}{|2x|} : \frac{x^2+1}{x} = \frac{x^2+1}{|2x|} \cdot \frac{x}{x^2+1} = \frac{x}{|2x|}$.

Рассмотрим два случая. Если $x > 0$, то $|2x|=2x$ и выражение равно $\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$. Если $x < 0$, то $|2x|=-2x$ и выражение равно $\frac{x}{-2x}=-\frac{1}{2}$.

Так как в остальных заданиях этого номера из-за наличия корней четной степени от $x$ (например, $\sqrt{x}$, $\sqrt[4]{x}$) подразумевается, что $x>0$, то и в этом задании будем считать $x>0$.

Ответ: $\frac{1}{2}$