Номер 125, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt{x^2 + 5x + 1} + 1 = 2x$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, чтобы уединить радикал:

$\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1$

Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо выполнение следующих условий (Область допустимых значений - ОДЗ):

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x^2 + 5x + 1 \ge 0$.

2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $2x - 1 \ge 0$.

Из второго условия получаем: $2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Проверим, выполняется ли первое условие при $x \ge \frac{1}{2}$. Корни уравнения $x^2 + 5x + 1 = 0$ находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$. Парабола $y = x^2 + 5x + 1$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x + 1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}] \cup [\frac{-5 + \sqrt{21}}{2}, +\infty)$. Так как $\frac{-5 + \sqrt{21}}{2} \approx -0.21$, то условие $x \ge \frac{1}{2}$ входит в этот промежуток. Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge \frac{1}{2}$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1$ в квадрат:

$x^2 + 5x + 1 = (2x - 1)^2$

$x^2 + 5x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 9x = 0$

$3x(x - 3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{1}{2}$):

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge \frac{1}{2}$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge \frac{1}{2}$.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3^2 + 5 \cdot 3 + 1} + 1 = 2 \cdot 3$

$\sqrt{9 + 15 + 1} + 1 = 6$

$\sqrt{25} + 1 = 6$

$5 + 1 = 6$

$6 = 6$ (верно).

Ответ: 3.

2) $\sqrt{x + 2} = 2 + \sqrt{x - 6}$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

$x - 6 \ge 0 \implies x \ge 6$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны.

$(\sqrt{x + 2})^2 = (2 + \sqrt{x - 6})^2$

$x + 2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x - 6} + (\sqrt{x - 6})^2$

$x + 2 = 4 + 4\sqrt{x - 6} + x - 6$

$x + 2 = x - 2 + 4\sqrt{x - 6}$

Упростим уравнение, уединив радикал:

$2 = -2 + 4\sqrt{x - 6}$

$4 = 4\sqrt{x - 6}$

$1 = \sqrt{x - 6}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 6})^2$

$1 = x - 6$

$x = 7$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):

$x = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 6$.

Выполним проверку подстановкой $x=7$ в исходное уравнение:

$\sqrt{7 + 2} = 2 + \sqrt{7 - 6}$

$\sqrt{9} = 2 + \sqrt{1}$

$3 = 2 + 1$

$3 = 3$ (верно).

Ответ: 7.

3) $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 2 + 2}$

Упростим выражение под вторым корнем: $x - 2 + 2 = x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x}$

Найдем ОДЗ:

$3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$

$x \ge 0$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{2}{3}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 2})^2 = (\sqrt{x})^2$

$3x - 2 = x$

$2x = 2$

$x = 1$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$):

$x = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge \frac{2}{3}$.

Выполним проверку подстановкой $x=1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1}$

$\sqrt{1} = 1$

$1 = 1$ (верно).

Ответ: 1.

4) $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2$

Найдем ОДЗ:

$22 - x \ge 0 \implies x \le 22$

$10 - x \ge 0 \implies x \le 10$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \le 10$.

Перенесем один из радикалов в правую часть:

$\sqrt{22 - x} = 2 + \sqrt{10 - x}$

В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием.

$(\sqrt{22 - x})^2 = (2 + \sqrt{10 - x})^2$

$22 - x = 4 + 4\sqrt{10 - x} + (10 - x)$

$22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10 - x}$

Упростим уравнение, уединив радикал:

$22 - 14 = 4\sqrt{10 - x}$

$8 = 4\sqrt{10 - x}$

$2 = \sqrt{10 - x}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{10 - x})^2$

$4 = 10 - x$

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \le 10$):

$x = 6$ удовлетворяет условию $6 \le 10$.

Выполним проверку подстановкой $x=6$ в исходное уравнение:

$\sqrt{22 - 6} - \sqrt{10 - 6} = 2$

$\sqrt{16} - \sqrt{4} = 2$

$4 - 2 = 2$

$2 = 2$ (верно).

Ответ: 6.