Номер 129, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано уравнение $\sqrt{x^2+32} - 2\sqrt[4]{x^2+32} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x^2+32 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любых действительных чисел $x$, так как $x^2 \ge 0$.
Для решения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x^2+32}$. Поскольку корень четной степени не может быть отрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.
Тогда $\sqrt{x^2+32}$ можно выразить как $y^2$, так как $(\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:$y^2 - 2y = 3$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-3$, а их сумма равна $2$. Корнями являются $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.
Согласно условию замены $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним и должен быть отброшен.
Таким образом, единственное подходящее решение для $y$ это $y = 3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:$\sqrt[4]{x^2+32} = 3$
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:$(\sqrt[4]{x^2+32})^4 = 3^4$
$x^2 + 32 = 81$
$x^2 = 81 - 32$
$x^2 = 49$
Отсюда находим два возможных значения для $x$:$x = \pm \sqrt{49}$, то есть $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Проверка: для $x = \pm 7$, $x^2 = 49$. Подставляя в исходное уравнение, получаем $\sqrt{49+32} - 2\sqrt[4]{49+32} = \sqrt{81} - 2\sqrt[4]{81} = 9 - 2 \cdot 3 = 3$. Равенство верно.
Ответ: $-7; 7$.

2) Дано уравнение $3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[3]{x^{-1}} = 2$.
ОДЗ: $x \neq 0$, так как $x$ находится в знаменателе выражения $x^{-1} = \frac{1}{x}$.
Преобразуем уравнение: $3\sqrt[3]{x} - 5\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 2$.
Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Так как $x \neq 0$, то и $y \neq 0$.
Уравнение принимает вид:$3y - \frac{5}{y} = 2$
Умножим все члены уравнения на $y$, чтобы избавиться от знаменателя:$3y^2 - 5 = 2y$
$3y^2 - 2y - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-2)^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
Корни уравнения для $y$:$y_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
$y_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Теперь выполним обратную замену $x = y^3$:Для $y_1 = \frac{5}{3}$: $x_1 = (\frac{5}{3})^3 = \frac{125}{27}$.
Для $y_2 = -1$: $x_2 = (-1)^3 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Проверим их.
Для $x_1 = 125/27$: $3\sqrt[3]{125/27} - 5\sqrt[3]{27/125} = 3 \cdot (5/3) - 5 \cdot (3/5) = 5 - 3 = 2$. Верно.
Для $x_2 = -1$: $3\sqrt[3]{-1} - 5\sqrt[3]{-1} = 3(-1) - 5(-1) = -3+5=2$. Верно.
Ответ: $-1; \frac{125}{27}$.

3) Дано уравнение $\sqrt{3x^2+13} - \sqrt[4]{3x^2+13} = 2$.
ОДЗ: $3x^2+13 \ge 0$, что выполняется для любого действительного $x$, так как $3x^2 \ge 0$.
Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt[4]{3x^2+13}$. Условие для $y$: $y \ge 0$.
Тогда $\sqrt{3x^2+13} = y^2$.
Уравнение принимает вид:$y^2 - y = 2$
$y^2 - y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним.
Единственное решение для $y$ это $y=2$.
Вернемся к переменной $x$:$\sqrt[4]{3x^2+13} = 2$
Возведем обе части в четвертую степень:$3x^2 + 13 = 2^4$
$3x^2 + 13 = 16$
$3x^2 = 3$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
Проверка: для $x = \pm 1$, $x^2 = 1$. $\sqrt{3(1)+13} - \sqrt[4]{3(1)+13} = \sqrt{16} - \sqrt[4]{16} = 4-2=2$. Равенство верно.
Ответ: $-1; 1$.

4) Дано уравнение $\sqrt{5+\sqrt[3]{x}} + \sqrt{5-\sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}$.
ОДЗ: выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными.$5+\sqrt[3]{x} \ge 0 \implies \sqrt[3]{x} \ge -5 \implies x \ge -125$.
$5-\sqrt[3]{x} \ge 0 \implies \sqrt[3]{x} \le 5 \implies x \le 125$.
Сумма квадратных корней в левой части неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $\sqrt[3]{x} \ge 0 \implies x \ge 0$.
Итоговая ОДЗ: $0 \le x \le 125$.
Сделаем замену $y = \sqrt[3]{x}$. Из ОДЗ для $x$ следует, что $0 \le y \le 5$.
Уравнение становится: $\sqrt{5+y} + \sqrt{5-y} = y$.
Возведем обе части в квадрат:$(5+y) + 2\sqrt{(5+y)(5-y)} + (5-y) = y^2$
$10 + 2\sqrt{25-y^2} = y^2$
$2\sqrt{25-y^2} = y^2 - 10$.
Левая часть неотрицательна, значит $y^2 - 10 \ge 0 \implies y^2 \ge 10 \implies y \ge \sqrt{10}$ (так как $y \ge 0$).
Новое ограничение на $y$: $\sqrt{10} \le y \le 5$.
Снова возведем в квадрат:$4(25-y^2) = (y^2-10)^2$
$100 - 4y^2 = y^4 - 20y^2 + 100$
$y^4 - 16y^2 = 0$
$y^2(y^2 - 16) = 0$.
Возможные решения: $y^2 = 0 \implies y=0$ или $y^2 = 16 \implies y = \pm 4$.
Проверим эти значения с учетом ограничения $\sqrt{10} \le y \le 5$:$y=0$ не подходит ($\sqrt{10}>0$).$y=-4$ не подходит (отрицательное).$y=4$ подходит, так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, и $\sqrt{10} < 4 < 5$.
Единственное решение для $y$ это $y=4$.
Выполним обратную замену: $\sqrt[3]{x} = 4 \implies x = 4^3 = 64$.
Этот корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \le 64 \le 125$).Проверка: $\sqrt{5+\sqrt[3]{64}} + \sqrt{5-\sqrt[3]{64}} = \sqrt{5+4} + \sqrt{5-4} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4$. Правая часть: $\sqrt[3]{64} = 4$. $4=4$.
Ответ: $64$.