Номер 135, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{4}{3} \\x \cdot y = 9\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x > 0, y > 0$, так как переменные находятся под знаком квадратного корня и в знаменателе.

Из второго уравнения системы $x \cdot y = 9$, так как $x$ и $y$ положительные, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{9}$, что дает нам $\sqrt{x}\sqrt{y} = 3$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{4}{3}$

Подставим в знаменатель полученное ранее значение $\sqrt{x}\sqrt{y} = 3$:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{3} = \frac{4}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases}\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\\sqrt{x}\sqrt{y} = 3\end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases}a + b = 4 \\a \cdot b = 3\end{cases}$

По обратной теореме Виета, переменные $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставив наши значения, получаем:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это уравнение. Его можно легко разложить на множители: $(t-1)(t-3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Таким образом, для пары $(a, b)$ есть два возможных варианта: $(1, 3)$ или $(3, 1)$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $a = 1$ и $b = 3$.

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$.

$\sqrt{y} = 3 \implies y = 3^2 = 9$.

Получаем первое решение: $(1, 9)$.

Случай 2: $a = 3$ и $b = 1$.

$\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

$\sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1$.

Получаем второе решение: $(9, 1)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 9), (9, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\x + y = 10\end{cases}$

ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x, y > 0$, то и $t > 0$.

Тогда второе слагаемое можно выразить как $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}} = \frac{1}{t}$.

После подстановки первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (это можно сделать, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дробей:

$2t \cdot t + 2t \cdot \frac{1}{t} = 2t \cdot \frac{5}{2}$

$2t^2 + 2 = 5t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 2$.

$\sqrt{\frac{x}{y}} = 2$

Возводим обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $x + y = 10$:

$4y + y = 10 \implies 5y = 10 \implies y = 2$.

Теперь находим $x$: $x = 4y = 4 \cdot 2 = 8$.

Получаем первое решение: $(8, 2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$.

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}$

Возводим обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$, откуда $y = 4x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 10$:

$x + 4x = 10 \implies 5x = 10 \implies x = 2$.

Теперь находим $y$: $y = 4x = 4 \cdot 2 = 8$.

Получаем второе решение: $(2, 8)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(8, 2), (2, 8)$.