Номер 134, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано уравнение $\sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен равняться нулю. Это приводит к системе условий:
$x - 9 \ge 0 \implies x \ge 9$
$x \ge 0$
$\sqrt{x-9} \ne 0 \implies x - 9 \ne 0 \implies x \ne 9$
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 9$.
Теперь решим уравнение. Умножим обе части на $\sqrt{x-9}$, чтобы избавиться от дроби:
$(\sqrt{x-9}) \cdot \sqrt{x-9} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x-9} = 36$
$x - 9 + \sqrt{x(x-9)} = 36$
Изолируем оставшийся корень:
$\sqrt{x^2 - 9x} = 36 - (x - 9)$
$\sqrt{x^2 - 9x} = 45 - x$
Прежде чем возводить в квадрат, заметим, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $45 - x \ge 0$, откуда $x \le 45$.
Возводим обе части в квадрат:
$x^2 - 9x = (45 - x)^2$
$x^2 - 9x = 2025 - 90x + x^2$
$-9x = 2025 - 90x$
$81x = 2025$
$x = \frac{2025}{81} = 25$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=25$ нашим ограничениям.
1. ОДЗ: $x > 9$. $25 > 9$ (верно).
2. Условие возведения в квадрат: $x \le 45$. $25 \le 45$ (верно).
Корень подходит.
Ответ: $25$.

2) Дано уравнение $\sqrt{9-5x} = \sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}}$.
Определим ОДЗ.
$9 - 5x \ge 0 \implies 9 \ge 5x \implies x \le 1.8$
$3 - x > 0 \implies x < 3$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \le 1.8$.
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3-x}$:
$\sqrt{9-5x} \cdot \sqrt{3-x} = (\sqrt{3-x})^2 + 6$
$\sqrt{(9-5x)(3-x)} = 3 - x + 6$
$\sqrt{27 - 9x - 15x + 5x^2} = 9 - x$
$\sqrt{5x^2 - 24x + 27} = 9 - x$
Правая часть должна быть неотрицательной: $9 - x \ge 0 \implies x \le 9$. Это условие выполняется в рамках нашего ОДЗ ($x \le 1.8$).
Возводим обе части в квадрат:
$5x^2 - 24x + 27 = (9-x)^2$
$5x^2 - 24x + 27 = 81 - 18x + x^2$
$4x^2 - 6x - 54 = 0$
Разделим на 2 для упрощения: $2x^2 - 3x - 27 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 15}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 15}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
Проверим корни по ОДЗ ($x \le 1.8$).
$x_1 = 4.5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4.5 > 1.8$. Это посторонний корень.
$x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \le 1.8$.
Ответ: $-3$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2+x} + \sqrt{x} = \frac{4}{\sqrt{2+x}}$.
Определим ОДЗ.
$2 + x > 0 \implies x > -2$
$x \ge 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{2+x}$:
$(\sqrt{2+x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{2+x} = 4$
$2 + x + \sqrt{x(2+x)} = 4$
Изолируем корень:
$\sqrt{x^2 + 2x} = 4 - (2+x) = 2 - x$
Правая часть должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.
Возводим в квадрат:
$x^2 + 2x = (2-x)^2$
$x^2 + 2x = 4 - 4x + x^2$
$2x = 4 - 4x$
$6x = 4$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Проверим корень. $x = \frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$) и условию $x \le 2$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

4) Дано уравнение $\frac{\sqrt{4x+20}}{4+\sqrt{x}} = \frac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$.
Определим ОДЗ.
$4x+20 \ge 0 \implies 4x \ge -20 \implies x \ge -5$
$x > 0$ (так как $\sqrt{x}$ в знаменателе)
$4+\sqrt{x} \ne 0$ (это условие выполняется всегда при $x \ge 0$)
Общее ОДЗ: $x > 0$.
Применим правило пропорции (перекрестное умножение):
$\sqrt{4x+20} \cdot \sqrt{x} = (4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})$
В правой части видим формулу разности квадратов:
$\sqrt{x(4x+20)} = 4^2 - (\sqrt{x})^2$
$\sqrt{4x^2+20x} = 16 - x$
Вынесем 4 из-под корня слева: $\sqrt{4(x^2+5x)} = 16 - x \implies 2\sqrt{x^2+5x} = 16 - x$.
Правая часть должна быть неотрицательной: $16 - x \ge 0 \implies x \le 16$.
Возводим обе части в квадрат:
$(2\sqrt{x^2+5x})^2 = (16-x)^2$
$4(x^2+5x) = 256 - 32x + x^2$
$4x^2 + 20x = 256 - 32x + x^2$
$3x^2 + 52x - 256 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 52^2 - 4(3)(-256) = 2704 + 3072 = 5776 = 76^2$
$x_1 = \frac{-52 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$
$x_2 = \frac{-52 - 76}{2 \cdot 3} = \frac{-128}{6} = -\frac{64}{3}$
Проверим корни.
$x_1 = 4$. Удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0$) и условию $x \le 16$. Это решение.
$x_2 = -\frac{64}{3}$. Не удовлетворяет ОДЗ ($x>0$). Это посторонний корень.
Ответ: $4$.