Вопросы, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Иррационал теңсіздіктің екі жақ бөлігін теріс емес деп алу қажет, себебі теңсіздікті дәрежеге шығару (әдетте квадраттау) амалы жалпы жағдайда мәндес түрлендіру болып табылмайды. Теңсіздіктің екі жағын квадраттағанда теңсіздік белгісінің сақталуы екі жақтың да таңбасына байланысты. Егер теңсіздіктің екі жағы да оң болса, яғни $a > b \ge 0$, онда $a^2 > b^2$ болады. Мысалы, $5 > 3$ дұрыс, және $25 > 9$ да дұрыс. Алайда, егер екі жақтың кем дегенде біреуі теріс болса, квадраттау қате нәтижеге әкелуі мүмкін:
1) Бір жағы оң, екінші жағы теріс: $3 > -4$ дұрыс, бірақ квадраттасақ $9 > 16$ болады, бұл қате.
2) Екі жағы да теріс: $-2 > -5$ дұрыс, бірақ квадраттасақ $4 < 25$ болады (теңсіздік белгісі кері өзгереді).
Сондықтан, иррационал теңсіздікті квадраттау арқылы дұрыс шешу үшін, біз алдымен теңсіздіктің екі жағының да теріс емес екендігіне көз жеткізуіміз керек. Бұл теңсіздіктер жүйесін немесе жүйелер жиынтығын қарастыру арқылы жасалады, бұл амалдың дұрыстығын қамтамасыз етеді. Ответ:

2. Иррационал теңсіздіктерді шешуде қолданылатын екі негізгі тұжырым $\sqrt{f(x)} < g(x)$ және $\sqrt{f(x)} > g(x)$ түріндегі теңсіздіктерге қатысты. Олардың негізгі айырмашылығы шешімдерді табу логикасы мен құрылымында.
1-тұжырым: $\sqrt{f(x)} < g(x)$ түріндегі теңсіздік.
Бұл теңсіздік келесі шарттар бір уақытта орындалатын теңсіздіктер жүйесіне мәндес:$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 & \text{(түбір астындағы өрнектің анықталу облысы)} \\ g(x) > 0 & \text{(теріс емес сан оң саннан ғана кіші бола алады)} \\ f(x) < (g(x))^2 & \text{(екі жағын да квадраттау)} \end{cases} $$Мұнда барлық үш шарт бір мезгілде орындалуы керек.
2-тұжырым: $\sqrt{f(x)} > g(x)$ түріндегі теңсіздік.
Бұл теңсіздік екі түрлі жағдайдың бірі орындалатын теңсіздіктер жиынтығына мәндес:$$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right. $$Бірінші жүйе $g(x)$ теріс болған жағдайды сипаттайды (бұл кезде теріс емес сан $\sqrt{f(x)}$ әрқашан теріс саннан үлкен). Екінші жүйе $g(x)$ теріс емес болған жағдайды сипаттайды (бұл кезде екі жағын да квадраттауға болады).
Негізгі айырмашылықтар:
1. Құрылымы: Бірінші тұжырым бір ғана теңсіздіктер жүйесіне (логикалық «және») әкеледі. Екінші тұжырым екі жүйенің бірігуіне (логикалық «немесе») әкеледі, яғни шешім екі жағдайдың шешімдерінің бірігуі болып табылады.
2. Логикасы: Айырмашылық $g(x)$ функциясының таңбасына байланысты. $\sqrt{f(x)} < g(x)$ үшін $g(x)$ міндетті түрде оң болуы керек, бұл бір ғана жағдайға әкеледі. Ал $\sqrt{f(x)} > g(x)$ үшін $g(x)$ теріс те, оң да болуы мүмкін, бұл екі бөлек жағдайды қарастыруды талап етеді. Ответ:

3. Иррационал теңсіздіктерді шешу кезінде қолданылатын тұжырымдар дәрежелік функцияның монотондылық қасиетіне негізделген. Нақтырақ айтсақ, $y=x^2$ функциясының қасиетіне.
$y=x^2$ функциясы $[0, +\infty)$ аралығында қатаң өспелі болып табылады. Бұл дегеніміз, кез келген теріс емес $a$ және $b$ сандары үшін, егер $a < b$ болса, онда $a^2 < b^2$ болады. Дәл осы қасиет теңсіздіктің екі жағы да теріс емес екеніне көз жеткізгеннен кейін, оны квадрат дәрежеге шығарып, теңсіздік белгісін сақтауға мүмкіндік береді.
Мысалы, $\sqrt{f(x)} < g(x)$ теңсіздігін шешкенде, біз $g(x) > 0$ (демек, екі жағы да теріс емес) деп шарт қоямыз. Осыдан кейін $y=x^2$ функциясының $[0, +\infty)$ аралығындағы монотонды өсу қасиетіне сүйеніп, $(\sqrt{f(x)})^2 < (g(x))^2$, яғни $f(x) < (g(x))^2$ теңсіздігіне көше аламыз.
Сонымен, иррационал теңсіздіктерді шешудің негізінде жатқан басты математикалық принцип – дәрежелік функцияның теріс емес сандар жиынындағы монотондылығы. Ответ: