Номер 140, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt{3x - 8} < -2$
По определению, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом. То есть, для любого $x$ из области допустимых значений, $\sqrt{3x - 8} \ge 0$.
Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа $-2$, что невозможно. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$.

2) $\sqrt[3]{x + 2} \le -5$
Область определения кубического корня — все действительные числа. Возведем обе части неравенства в третью степень. Так как функция $y = t^3$ является монотонно возрастающей, знак неравенства сохраняется.
$(\sqrt[3]{x + 2})^3 \le (-5)^3$
$x + 2 \le -125$
$x \le -125 - 2$
$x \le -127$
Ответ: $(-\infty; -127]$.

3) $\sqrt{2x + 1} > 8$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$2x + 1 \ge 0$
$2x \ge -1$
$x \ge -\frac{1}{2}$
Поскольку обе части неравенства $\sqrt{2x + 1} > 8$ положительны, можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства.
$(\sqrt{2x + 1})^2 > 8^2$
$2x + 1 > 64$
$2x > 63$
$x > 31.5$
Учитывая ОДЗ ($x \ge -0.5$), полученное решение $x > 31.5$ полностью ему удовлетворяет.
Ответ: $(31.5; +\infty)$.

4) $(x - 12)\sqrt{x - 3} \le 0$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
На ОДЗ множитель $\sqrt{x - 3}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Произведение двух множителей будет меньше или равно нулю, если один из них меньше или равен нулю, а другой больше или равен нулю.
Поскольку $\sqrt{x - 3} \ge 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x - 12)$ был меньше или равен нулю:
$x - 12 \le 0 \implies x \le 12$
Теперь нужно найти пересечение полученного условия с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 12 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $[3; 12]$.
Проверим также случай, когда $\sqrt{x - 3} = 0$, то есть $x = 3$. При $x=3$ неравенство обращается в верное равенство $0 \le 0$.
При $x=12$ неравенство также обращается в верное равенство $0 \le 0$.
Таким образом, решение удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $[3; 12]$.