Номер 137, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Мәндес теңдеулер — шешімдер жиыны бірдей болатын теңдеулер. Әрбір жұпты тексеріп көрейік.

1) Теңдеулер жұбын қарастырайық: $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = 2$ (1-теңдеу) және $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} = 2$ (2-теңдеу).

Бірінші теңдеудің анықталу облысын (ММЖ) табайық. Түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек:

$\frac{x-1}{x+1} \ge 0$

Бұл теңсіздікті интервалдар әдісімен шешсек, оның шешімі $x \in (-\infty, -1) \cup [1, \infty)$ болады. Бұл 1-теңдеудің ММЖ-сы.

Енді теңдеуді шешеміз. Екі жағын да квадраттаймыз:

$\frac{x-1}{x+1} = 4 \Rightarrow x-1 = 4(x+1) \Rightarrow x-1 = 4x+4 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$.

Бұл мән $(-\frac{5}{3} \approx -1.67)$ анықталу облысына жатады. Демек, бірінші теңдеудің шешімдер жиыны: $\{-\frac{5}{3}\}$.

Екінші теңдеудің ММЖ-сын табайық:

$\sqrt{x-1}$ үшін $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

$\sqrt{x+1}$ үшін $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.

Екі шарттың қиылысуы $x \ge 1$ береді. Екінші теңдеудің ММЖ-сы: $[1, \infty)$.

Екінші теңдеуді шешсек, ол да $\frac{x-1}{x+1} = 4$ теңдеуіне, яғни $x = -\frac{5}{3}$ шешіміне әкеледі. Алайда, бұл мән екінші теңдеудің анықталу облысына ($[1, \infty)$) кірмейді. Сондықтан, екінші теңдеудің шешімі жоқ. Оның шешімдер жиыны: $\emptyset$.

Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-\frac{5}{3}\}$, ал екіншісінікі $\emptyset$. Шешімдер жиыны әртүрлі болғандықтан, бұл теңдеулер мәндес емес.

Ответ: Теңдеулер мәндес емес.

2) Теңдеулер жұбын қарастырайық: $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$ (1-теңдеу) және $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-1} = 4$ (2-теңдеу).

Бірінші теңдеудің ММЖ-сы: $x^2 - 3x + 2 \ge 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) \ge 0$. Бұдан $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Теңдеуді шешеміз: $x^2 - 3x + 2 = 16 \Rightarrow x^2 - 3x - 14 = 0$.

Квадрат теңдеудің түбірлері: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(-14)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$.

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{65}}{2} \approx 5.53$ және $x_2 = \frac{3 - \sqrt{65}}{2} \approx -2.53$. Екі түбір де ММЖ-ға тиісті. Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны: $\{\frac{3 + \sqrt{65}}{2}, \frac{3 - \sqrt{65}}{2}\}$.

Екінші теңдеудің ММЖ-сы: $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$ және $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Екі шарттың қиылысуы: $x \ge 2$.

Екінші теңдеуді шешеміз. $x \ge 2$ болғанда $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-1} = \sqrt{(x-2)(x-1)} = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ деп жазуға болады. Теңдеу $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$ түріне келеді. Оның шешімдері $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$.

Бұл шешімдерді екінші теңдеудің ММЖ-сымен ($x \ge 2$) тексереміз:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{65}}{2}$ түбірі $x \ge 2$ шартын қанағаттандырады.

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{65}}{2}$ түбірі $x \ge 2$ шартын қанағаттандырмайды, сондықтан бұл бөгде түбір.

Екінші теңдеудің шешімдер жиыны: $\{\frac{3 + \sqrt{65}}{2}\}$.

Теңдеулердің шешімдер жиыны әртүрлі. Сондықтан олар мәндес емес.

Ответ: Теңдеулер мәндес емес.

3) Теңдеулер жұбын қарастырайық: $\sqrt{x-5} = x$ (1-теңдеу) және $x-5 = x^2$ (2-теңдеу).

Бірінші теңдеудің ММЖ-сы: $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$ және $x \ge 0$. Екі шарттың қиылысуы: $x \ge 5$.

Теңдеуді шешу үшін екі жағын да квадраттаймыз: $x-5 = x^2 \Rightarrow x^2 - x + 5 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(5) = 1 - 20 = -19$.

$D < 0$ болғандықтан, квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны бос жиын: $\emptyset$.

Екінші теңдеу: $x-5 = x^2$, яғни $x^2 - x + 5 = 0$. Бұл теңдеудің анықталу облысы барлық нақты сандар. Біз оның нақты түбірлері жоқ екенін анықтадық. Екінші теңдеудің де шешімдер жиыны бос жиын: $\emptyset$.

Екі теңдеудің де шешімдер жиыны бірдей (бос жиын). Демек, теңдеулер мәндес.

Ответ: Теңдеулер мәндес.

4) Теңдеулер жұбын қарастырайық: $\sqrt[3]{2x+1} = x$ (1-теңдеу) және $2x+1 = x^3$ (2-теңдеу).

Бірінші теңдеудің ММЖ-сы барлық нақты сандар жиыны ($x \in \mathbb{R}$), себебі тек дәрежелі түбірдің астындағы өрнек кез келген мәнді қабылдай алады.

Бірінші теңдеудің екі жағын да үшінші дәрежеге шығарамыз:

$(\sqrt[3]{2x+1})^3 = x^3 \Rightarrow 2x+1 = x^3$.

Бұл екінші теңдеумен толығымен бірдей. Теңдеудің екі жағын да тақ дәрежеге шығару — мәндес түрлендіру. Ол бөгде түбірлердің пайда болуына немесе түбірлердің жоғалуына әкелмейді. Демек, $\sqrt[3]{A(x)} = B(x)$ теңдеуі $A(x) = (B(x))^3$ теңдеуіне мәндес.

Сондықтан, берілген теңдеулер жұбы мәндес болып табылады. Екі теңдеудің де шешімдер жиыны $x^3 - 2x - 1 = 0$ теңдеуінің шешімдерімен бірдей болады, олар: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Теңдеулер мәндес.