Номер 130, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Дана система уравнений:$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4 \\x + y = 28\end{cases}$
Для решения системы введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.
Система уравнений в новых переменных будет выглядеть так:$\begin{cases}a + b = 4 \\a^3 + b^3 = 28\end{cases}$
Воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Подставим в эту формулу известные значения из нашей системы:
$4^3 = 28 + 3ab \cdot 4$
$64 = 28 + 12ab$
$12ab = 64 - 28$
$12ab = 36$
$ab = 3$
Теперь мы имеем более простую систему для нахождения $a$ и $b$:$\begin{cases}a + b = 4 \\ab = 3\end{cases}$
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $(t-1)(t-3) = 0$, следовательно, $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Это дает нам два возможных набора значений для $a$ и $b$:
1. $a = 1$, $b = 3$
2. $a = 3$, $b = 1$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.
В первом случае:
$x = a^3 = 1^3 = 1$
$y = b^3 = 3^3 = 27$
Во втором случае:
$x = a^3 = 3^3 = 27$
$y = b^3 = 1^3 = 1$
Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.
Ответ: $(1, 27)$, $(27, 1)$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 72 \\\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6\end{cases}$
Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Отсюда $x = a^3$ и $y = b^3$.
Запишем систему в новых переменных:$\begin{cases}a^3 + b^3 = 72 \\a + b = 6\end{cases}$
Используем тождество $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Подставим известные значения из системы:
$6^3 = 72 + 3ab \cdot 6$
$216 = 72 + 18ab$
$18ab = 216 - 72$
$18ab = 144$
$ab = 8$
Мы получили новую систему для $a$ и $b$:$\begin{cases}a + b = 6 \\ab = 8\end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $(t-2)(t-4) = 0$, следовательно, $t_1 = 2$, $t_2 = 4$.
Таким образом, возможны два случая:
1. $a = 2$, $b = 4$
2. $a = 4$, $b = 2$
Выполним обратную замену для нахождения $x$ и $y$.
В первом случае:
$x = a^3 = 2^3 = 8$
$y = b^3 = 4^3 = 64$
Во втором случае:
$x = a^3 = 4^3 = 64$
$y = b^3 = 2^3 = 8$
Система имеет два решения.
Ответ: $(8, 64)$, $(64, 8)$.