Номер 127, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{16 - \sqrt{x + 1}} = 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого система неравенств должна выполняться:
$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 16 - \sqrt{x + 1} \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x \ge -1$.
Решим второе неравенство: $16 \ge \sqrt{x + 1}$. Так как обе части неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $256 \ge x + 1$, что дает $x \le 255$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-1; 255]$.
Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:
$(\sqrt{16 - \sqrt{x + 1}})^2 = 1^2$
$16 - \sqrt{x + 1} = 1$
Выразим оставшийся корень:
$\sqrt{x + 1} = 16 - 1$
$\sqrt{x + 1} = 15$
Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 1})^2 = 15^2$
$x + 1 = 225$
$x = 224$
Найденный корень $x=224$ принадлежит ОДЗ $[-1; 255]$, следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $224$.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}} = 1$.
Найдем ОДЗ. Кубический корень определен для любого действительного числа, поэтому единственное ограничение накладывает квадратный корень:
$x + 15 \ge 0$, откуда $x \ge -15$.
ОДЗ: $x \in [-15; +\infty)$.
Для решения возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}})^3 = 1^3$
$5 - \sqrt{x + 15} = 1$
Выразим корень:
$\sqrt{x + 15} = 5 - 1$
$\sqrt{x + 15} = 4$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 15})^2 = 4^2$
$x + 15 = 16$
$x = 1$
Найденный корень $x=1$ принадлежит ОДЗ $[-15; +\infty)$, значит, он является решением.
Ответ: $1$.

3) Дано уравнение $\frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{3x + 1}$.
Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, а подкоренное выражение в правой части — неотрицательным:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства $x > 1$. Из второго $x \ge -1/3$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.
При $x > 1$ знаменатель $\sqrt{x-1}$ положителен. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x-1}$:
$x + 3 = \sqrt{3x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$
$x + 3 = \sqrt{(3x + 1)(x - 1)}$
$x + 3 = \sqrt{3x^2 - 3x + x - 1}$
$x + 3 = \sqrt{3x^2 - 2x - 1}$
В области допустимых значений ($x>1$) левая часть уравнения $x+3$ всегда положительна, поэтому можно без ограничений возвести обе части в квадрат:
$(x + 3)^2 = (\sqrt{3x^2 - 2x - 1})^2$
$x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2x^2 - 8x - 10 = 0$
Разделим обе части на 2:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1=5$ и $x_2=-1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 > 1$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 \ngtr 1$. Это посторонний корень.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $5$.

4) Дано уравнение $\frac{2x - 5}{\sqrt{x + 2}} = \sqrt{x + 2}$.
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$x + 2 > 0$, откуда $x > -2$.
ОДЗ: $x \in (-2; +\infty)$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $\sqrt{x + 2}$, который в ОДЗ всегда положителен:
$2x - 5 = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x + 2}$
$2x - 5 = (\sqrt{x + 2})^2$
$2x - 5 = x + 2$
Решим полученное линейное уравнение:
$2x - x = 2 + 5$
$x = 7$
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > -2$). $7 > -2$, условие выполняется. Значит, $x=7$ является решением.
Ответ: $7$.