Номер 131, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2 \\ xy = 27 \end{cases}$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда первое уравнение системы примет вид: $a - b = 2$.

Из второго уравнения системы $xy = 27$ следует, что $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{27}$, что эквивалентно $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = 3$, или $ab = 3$.

Таким образом, мы получаем новую, более простую систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a - b = 2 \\ ab = 3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$: $a = 2 + b$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $(2+b)b = 3$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $b^2 + 2b - 3 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $a$ для каждого корня $b$:

Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 2 + b_1 = 2 + 1 = 3$.

Если $b_2 = -3$, то $a_2 = 2 + b_2 = 2 + (-3) = -1$.

Мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(3, 1)$ и $(-1, -3)$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$, используя соотношения $x = a^3$ и $y = b^3$.

Случай 1: Пара $(a, b) = (3, 1)$.

$x = a^3 = 3^3 = 27$.

$y = b^3 = 1^3 = 1$.

Проверим это решение $(27, 1)$ в исходной системе: $\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{1} = 3 - 1 = 2$ и $27 \cdot 1 = 27$. Решение верное.

Случай 2: Пара $(a, b) = (-1, -3)$.

$x = a^3 = (-1)^3 = -1$.

$y = b^3 = (-3)^3 = -27$.

Проверим это решение $(-1, -27)$ в исходной системе: $\sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{-27} = -1 - (-3) = -1+3=2$ и $(-1) \cdot (-27) = 27$. Решение верное.

Ответ: $(27, 1), (-1, -27)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 10 \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4 \end{cases}$.

Прежде всего, определим область допустимых значений. Поскольку в уравнениях присутствуют корни четной степени, переменные $x$ и $y$ должны быть неотрицательными: $x \ge 0, y \ge 0$.

Для упрощения системы введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$. Из ОДЗ следует, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда второе уравнение системы запишется в виде: $a + b = 4$.

Выразим члены первого уравнения через новые переменные: $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = a^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = b^2$.

Первое уравнение примет вид: $a^2 + b^2 = 10$.

Получаем систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 10 \\ a + b = 4 \end{cases}$

Для решения этой системы возведем второе уравнение в квадрат: $(a+b)^2 = 4^2$, что дает $a^2 + 2ab + b^2 = 16$.

Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 10$. Подставим это значение в полученное уравнение: $10 + 2ab = 16$.

Отсюда находим $2ab = 16 - 10 = 6$, и, следовательно, $ab = 3$.

Теперь система свелась к более простому виду:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ ab = 3 \end{cases}$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Это означает, что для пары $(a, b)$ есть два возможных варианта: $(1, 3)$ и $(3, 1)$. Оба варианта удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$, используя $x = a^4$ и $y = b^4$.

Случай 1: Пара $(a, b) = (1, 3)$.

$x = a^4 = 1^4 = 1$.

$y = b^4 = 3^4 = 81$.

Проверим решение $(1, 81)$: $\sqrt{1} + \sqrt{81} = 1 + 9 = 10$ и $\sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{81} = 1 + 3 = 4$. Решение верное.

Случай 2: Пара $(a, b) = (3, 1)$.

$x = a^4 = 3^4 = 81$.

$y = b^4 = 1^4 = 1$.

Проверим решение $(81, 1)$: $\sqrt{81} + \sqrt{1} = 9 + 1 = 10$ и $\sqrt[4]{81} + \sqrt[4]{1} = 3 + 1 = 4$. Решение верное.

Ответ: $(1, 81), (81, 1)$.