Номер 132, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1} = \sqrt{7x+4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$7x+4 \ge 0 \implies x \ge -4/7$

Пересечением этих условий является $x \ge -4/7$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{7x+4})^2$

$(x+6) + 2\sqrt{(x+6)(x+1)} + (x+1) = 7x+4$

$2x + 7 + 2\sqrt{x^2+7x+6} = 7x+4$

Уединим корень:

$2\sqrt{x^2+7x+6} = 5x-3$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как левая часть неотрицательна. $5x-3 \ge 0$, что означает $x \ge 3/5$. Это условие более сильное, чем ОДЗ $x \ge -4/7$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{x^2+7x+6})^2 = (5x-3)^2$

$4(x^2+7x+6) = 25x^2 - 30x + 9$

$4x^2 + 28x + 24 = 25x^2 - 30x + 9$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$21x^2 - 58x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-58)^2 - 4(21)(-15) = 3364 + 1260 = 4624 = 68^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm 68}{42}$

$x_1 = \frac{58+68}{42} = \frac{126}{42} = 3$

$x_2 = \frac{58-68}{42} = \frac{-10}{42} = -\frac{5}{21}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3/5$.

$x_1 = 3$: $3 \ge 3/5$. Корень подходит.

$x_2 = -5/21$: $-5/21 \approx -0.24$, а $3/5 = 0.6$. Условие $-5/21 \ge 3/5$ не выполняется. Этот корень посторонний.

Выполним проверку для $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3+6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$

$\sqrt{7(3)+4} = \sqrt{21+4} = \sqrt{25}=5$

$5 = 5$. Решение верное.

Ответ: $x=3$.

2) $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} - \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 56$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Преобразуем выражения, используя свойства степеней:

$\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/5}} = \sqrt{x^{6/5}} = (x^{6/5})^{1/2} = x^{3/5}$

$\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/5} = x^{3/10}$

Уравнение принимает вид:

$x^{3/5} - x^{3/10} = 56$

Сделаем замену. Пусть $y = x^{3/10}$. Тогда $y^2 = (x^{3/10})^2 = x^{6/10} = x^{3/5}$. Так как при $x \ge 0$, имеем $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - y - 56 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения:

$y_1 = 8$

$y_2 = -7$

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -7$ является посторонним.

Вернемся к замене с $y=8$:

$x^{3/10} = 8$

Возведем обе части в степень $10/3$:

$x = 8^{10/3} = (2^3)^{10/3} = 2^{3 \cdot 10/3} = 2^{10} = 1024$

Проверка: $x=1024 > 0$, удовлетворяет ОДЗ.

$1024^{3/5} - 1024^{3/10} = (2^{10})^{3/5} - (2^{10})^{3/10} = 2^6 - 2^3 = 64 - 8 = 56$.

$56=56$. Решение верное.

Ответ: $x=1024$.

3) $\sqrt[3]{x+2} - \sqrt[3]{x+17} = 1$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$, так как корень кубический определен для любого действительного числа.

Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{x+2}$ и $b = \sqrt[3]{x+17}$.

Тогда исходное уравнение примет вид: $a - b = 1$.

Возведем замены в куб:

$a^3 = x+2$

$b^3 = x+17$

Вычтем из первого выражения второе: $a^3 - b^3 = (x+2) - (x+17) = -15$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ a^3 - b^3 = -15 \end{cases}$

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Подставим известные значения: $-15 = 1 \cdot (a^2+ab+b^2)$, откуда $a^2+ab+b^2 = -15$.

Из первого уравнения системы выразим $a = b+1$ и подставим в полученное выражение:

$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = -15$

$(b^2+2b+1) + (b^2+b) + b^2 = -15$

$3b^2+3b+1 = -15$

$3b^2+3b+16 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно $b$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 9 - 192 = -183$

Так как дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней для $b$.

Поскольку $b = \sqrt[3]{x+17}$ должно быть действительным числом при действительном $x$, это означает, что исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

4) $\sqrt[3]{24+\sqrt{x}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = 1$

ОДЗ: подкоренное выражение $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

Это уравнение похоже на предыдущее. Применим тот же метод. Введем замены:

Пусть $a = \sqrt[3]{24+\sqrt{x}}$ и $b = \sqrt[3]{5+\sqrt{x}}$.

Уравнение принимает вид: $a - b = 1$.

Возведем замены в куб:

$a^3 = 24+\sqrt{x}$

$b^3 = 5+\sqrt{x}$

Вычтем второе из первого: $a^3 - b^3 = (24+\sqrt{x}) - (5+\sqrt{x}) = 19$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ a^3 - b^3 = 19 \end{cases}$

Из формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ следует:

$19 = 1 \cdot (a^2+ab+b^2)$, то есть $a^2+ab+b^2 = 19$.

Подставим $a = b+1$ из первого уравнения системы:

$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 19$

$(b^2+2b+1) + (b^2+b) + b^2 = 19$

$3b^2+3b+1 = 19$

$3b^2+3b-18 = 0$

Разделим уравнение на 3: $b^2+b-6 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1=2$ и $b_2=-3$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $b = 2$.

Возвращаемся к замене: $\sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = 2$.

Возводим в куб: $5+\sqrt{x} = 2^3 = 8$.

$\sqrt{x} = 3$.

Возводим в квадрат: $x=9$.

Случай 2: $b = -3$.

Возвращаемся к замене: $\sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = -3$.

Возводим в куб: $5+\sqrt{x} = (-3)^3 = -27$.

$\sqrt{x} = -32$. Это уравнение не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

Единственный кандидат в решения - $x=9$. Он удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).

Проверка: подставим $x=9$ в исходное уравнение.

$\sqrt[3]{24+\sqrt{9}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{9}} = \sqrt[3]{24+3} - \sqrt[3]{5+3} = \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{8} = 3-2 = 1$.

$1=1$. Решение верное.

Ответ: $x=9$.