Номер 128, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} = x + 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.
$x \ge 0$
$\sqrt{x} - 2 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 2 \implies x \neq 4$
Следовательно, ОДЗ: $x \in [0, 4) \cup (4, \infty)$.
Разложим числитель левой части уравнения как разность квадратов: $x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} = x + 2$
Так как $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(\sqrt{x} - 2)$:
$\sqrt{x} + 2 = x + 2$
Вычтем 2 из обеих частей:
$\sqrt{x} = x$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = x^2$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ. Оба корня $0$ и $1$ входят в область допустимых значений.

Ответ: $0; 1$.

2) $\frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3} = 27 - x$

Определим ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$
Знаменатель $\sqrt{x} + 3$ всегда положителен, так как $\sqrt{x} \ge 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Разложим числитель левой части как разность квадратов: $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$.
$\frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} = 27 - x$
Сократим дробь на $(\sqrt{x} + 3)$:
$\sqrt{x} - 3 = 27 - x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение относительно $\sqrt{x}$:
$x + \sqrt{x} - 3 - 27 = 0$
$x + \sqrt{x} - 30 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
$t^2 + t - 30 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение $-30$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.
Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -6$ является посторонним.
Остается $t = 5$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt{x} = 5$
$x = 25$
Корень $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$).

Ответ: $25$.

3) $\frac{x + 1}{\sqrt{x - 1}} = (2x - 1)^{\frac{1}{2}}$

Перепишем уравнение в виде с корнями: $\frac{x + 1}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{2x - 1}$.
Определим ОДЗ:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$ (знаменатель не может быть равен нулю)
$2x - 1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.
Умножим обе части на $\sqrt{x - 1}$:
$x + 1 = \sqrt{2x - 1} \cdot \sqrt{x - 1}$
$x + 1 = \sqrt{(2x - 1)(x - 1)}$
$x + 1 = \sqrt{2x^2 - 2x - x + 1}$
$x + 1 = \sqrt{2x^2 - 3x + 1}$
Для $x > 1$ левая часть $x + 1$ всегда положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(x + 1)^2 = 2x^2 - 3x + 1$
$x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > 1$).
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \ngtr 1$.
$x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 > 1$.

Ответ: $5$.

4) $\frac{x + 6}{(x - 6)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{3x + 2}$

Перепишем уравнение в виде с корнями: $\frac{x + 6}{\sqrt{x - 6}} = \sqrt{3x + 2}$.
Определим ОДЗ:
$x - 6 > 0 \implies x > 6$
$3x + 2 \ge 0 \implies x \ge -\frac{2}{3}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 6$.
Умножим обе части на $\sqrt{x - 6}$:
$x + 6 = \sqrt{3x + 2} \cdot \sqrt{x - 6}$
$x + 6 = \sqrt{(3x + 2)(x - 6)}$
$x + 6 = \sqrt{3x^2 - 18x + 2x - 12}$
$x + 6 = \sqrt{3x^2 - 16x - 12}$
При $x > 6$ левая часть $x + 6$ всегда положительна. Возведем обе части в квадрат:
$(x + 6)^2 = 3x^2 - 16x - 12$
$x^2 + 12x + 36 = 3x^2 - 16x - 12$
$2x^2 - 28x - 48 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 14x - 24 = 0$
Решим квадратное уравнение по формуле корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 196 + 96 = 292$
$\sqrt{D} = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$
$x = \frac{14 \pm 2\sqrt{73}}{2} = 7 \pm \sqrt{73}$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 7 + \sqrt{73}$ и $x_2 = 7 - \sqrt{73}$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > 6$).
$x_1 = 7 + \sqrt{73}$. Так как $\sqrt{49} < \sqrt{73} < \sqrt{81}$, то $7 < \sqrt{73} < 9$. Значит, $7 + \sqrt{73} > 7+7 = 14$, что больше 6. Этот корень подходит.
$x_2 = 7 - \sqrt{73}$. Так как $\sqrt{73} > \sqrt{49} = 7$, то $7 - \sqrt{73} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 6$.

Ответ: $7 + \sqrt{73}$.