Номер 126, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x - \sqrt{x+3}} = 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Также $x - \sqrt{x+3} \ge 0$.
Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - \sqrt{x+3}})^2 = 1^2$
$x - \sqrt{x+3} = 1$
Это уравнение равносильно исходному, так как правая часть (1) положительна.
Выразим корень:
$\sqrt{x+3} = x - 1$
Для существования решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной, так как корень не может быть отрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
С учетом ОДЗ ($x \ge -3$), получаем общее условие $x \ge 1$.
Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x+3} = x - 1$ в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = (x-1)^2$
$x+3 = x^2 - 2x + 1$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$x^2 - 3x - 2 = 0$
Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge 1$.
Для $x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$: так как $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, то $4 < \sqrt{17} < 5$. Тогда $3 - \sqrt{17}$ — отрицательное число, и $x_1 < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, он посторонний.
Для $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$: так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $3+\sqrt{17} > 4$, и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} > \frac{4}{2} = 2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.

2) Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3$.
Найдем ОДЗ:
$x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$
$10-x \ge 0 \implies x \le 10$
Таким образом, ОДЗ: $5 \le x \le 10$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x})^2 = 3^2$
$(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + (10-x) = 9$
$5 + 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9$
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4$
$\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2$
Снова возведем в квадрат:
$-x^2 + 15x - 50 = 4$
$-x^2 + 15x - 54 = 0$
$x^2 - 15x + 54 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение равно 54. Легко подобрать корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.
Оба корня принадлежат ОДЗ ($5 \le x \le 10$).
Выполним проверку, подставив корни в исходное уравнение.
При $x=6$: $\sqrt{6-5} + \sqrt{10-6} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. Верно.
При $x=9$: $\sqrt{9-5} + \sqrt{10-9} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$. Верно.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x_1 = 6, x_2 = 9$.

3) Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x-9} - \sqrt{x-16} = 1$.
Найдем ОДЗ:
$x-9 \ge 0 \implies x \ge 9$
$x-16 \ge 0 \implies x \ge 16$
Общее ОДЗ: $x \ge 16$.
Перенесем один из корней в правую часть для удобства возведения в квадрат:
$\sqrt{x-9} = 1 + \sqrt{x-16}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-9})^2 = (1 + \sqrt{x-16})^2$
$x-9 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x-16} + (\sqrt{x-16})^2$
$x-9 = 1 + 2\sqrt{x-16} + x - 16$
$x-9 = x - 15 + 2\sqrt{x-16}$
Приведем подобные слагаемые:
$-9 + 15 = 2\sqrt{x-16}$
$6 = 2\sqrt{x-16}$
$3 = \sqrt{x-16}$
Возведем обе части в квадрат:
$3^2 = (\sqrt{x-16})^2$
$9 = x - 16$
$x = 9 + 16 = 25$
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. $25 \ge 16$, что является верным.
Подставим $x=25$ в исходное уравнение для проверки:
$\sqrt{25-9} - \sqrt{25-16} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$. Верно.
Ответ: $x = 25$.

4) Решим иррациональное уравнение $\sqrt{3x+1} - 2\sqrt{x+1} = 0$.
Найдем ОДЗ:
$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
Общее ОДЗ: $x \ge -1/3$.
Перенесем второе слагаемое в правую часть:
$\sqrt{3x+1} = 2\sqrt{x+1}$
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:
$(\sqrt{3x+1})^2 = (2\sqrt{x+1})^2$
$3x+1 = 4(x+1)$
$3x+1 = 4x+4$
$4x-3x = 1-4$
$x = -3$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x \ge -1/3$ для $x=-3$ не выполняется, так как $-3 < -1/3$.
Следовательно, найденное значение $x=-3$ является посторонним корнем, и уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: корней нет.