Номер 120, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Для нахождения решения возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x = 9$ ОДЗ. Условие $9 \ge 0$ выполняется.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{9} = 3$, что является верным равенством.
Ответ: 9.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x - 3} = 2$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x - 3 \ge 0$, откуда следует $x \ge 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x - 3})^2 = 2^2$
$x - 3 = 4$
Перенесем -3 в правую часть:
$x = 4 + 3$
$x = 7$
Найденное значение $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ, так как $7 \ge 3$.
Проверка: подставим $x=7$ в исходное уравнение: $\sqrt{7 - 3} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.
Ответ: 7.

3) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$.
ОДЗ для данного уравнения состоит из двух условий:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, что равносильно $x \le 2$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Теперь проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($0 \le x \le 2$):
- $x_1 = 1$: корень удовлетворяет условию $0 \le 1 \le 2$.
- $x_2 = 4$: корень не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$. Это посторонний корень.
Проверим единственный подходящий корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{1} = 2 - 1$, что дает верное равенство $1 = 1$.
Ответ: 1.

4) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x - 2} = \frac{x}{3}$.
ОДЗ уравнения определяется условиями:
1. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
2. $\frac{x}{3} \ge 0 \implies x \ge 0$.
Общее ОДЗ: $x \ge 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - 2})^2 = (\frac{x}{3})^2$
$x - 2 = \frac{x^2}{9}$
Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
$9(x - 2) = x^2$
$9x - 18 = x^2$
Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 9$ и $x_1 \cdot x_2 = 18$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 6$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):
- $x_1 = 3$: удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$).
- $x_2 = 6$: удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2$).
Проведем проверку подстановкой:
- Для $x = 3$: $\sqrt{3 - 2} = \frac{3}{3} \implies \sqrt{1} = 1 \implies 1 = 1$. Верно.
- Для $x = 6$: $\sqrt{6 - 2} = \frac{6}{3} \implies \sqrt{4} = 2 \implies 2 = 2$. Верно.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: 3; 6.