Номер 117, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для доказательства тождества при $a \ge 2$ преобразуем его левую часть. Пусть $L$ - левая часть равенства:

$L = \sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}}$

Возведем обе части в квадрат. Так как $a \ge 2$, то $a^2 \ge 4$, и все подкоренные выражения неотрицательны, поэтому $L \ge 0$.

$L^2 = \left( \sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} \right)^2$

Используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, получаем:

$L^2 = \left(\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right) + 2\sqrt{\left(\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right)\left(\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right)} + \left(\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right)$

Упрощаем выражение:

$L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{(\sqrt{a})^2 - \left(\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right)^2}$

$L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{a - \frac{a^2-4}{a}}$

Преобразуем выражение под вторым корнем:

$a - \frac{a^2-4}{a} = \frac{a^2 - (a^2-4)}{a} = \frac{a^2 - a^2 + 4}{a} = \frac{4}{a}$

Подставляем обратно в выражение для $L^2$:

$L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{\frac{4}{a}} = 2\sqrt{a} + 2\frac{2}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} + \frac{4}{\sqrt{a}}$

Приводим к общему знаменателю:

$L^2 = \frac{2\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}} = \frac{2a+4}{\sqrt{a}}$

Теперь извлечем квадратный корень из $L^2$, чтобы найти $L$:

$L = \sqrt{\frac{2a+4}{\sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt{\sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}}$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества при $x > 1$ преобразуем его левую часть. Обозначим ее через $E$.

$E = \frac{\left(\sqrt[3]{(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} + \sqrt[3]{(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\right)^2}{\sqrt[3]{x^{-2}}(x^2 + \sqrt{x^4-1})}$

Упростим числитель. Сначала преобразуем выражения под знаками кубических корней.

Для первого слагаемого в скобках:

$(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = (x^2+1)\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = (x^2+1)\frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|} = (x^2+1)\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}$ (так как $x > 1$)

Тогда $\sqrt[3]{(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \sqrt[3]{\frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}} = \frac{(x^2+1)^{1/2}}{x^{1/3}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[3]{x}}$.

Для второго слагаемого в скобках:

$(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} = (x^2-1)\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}} = (x^2-1)\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|} = (x^2-1)\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} = \frac{(x^2-1)^{3/2}}{x}$ (так как $x > 1$)

Тогда $\sqrt[3]{(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \sqrt[3]{\frac{(x^2-1)^{3/2}}{x}} = \frac{(x^2-1)^{1/2}}{x^{1/3}} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}}$.

Теперь подставим упрощенные выражения в числитель $N$:

$N = \left(\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})^2}{x^{2/3}}$

Раскроем квадрат в числителе дроби:

$(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})^2 = (x^2+1) + (x^2-1) + 2\sqrt{(x^2+1)(x^2-1)} = 2x^2 + 2\sqrt{x^4-1} = 2(x^2+\sqrt{x^4-1})$

Итак, числитель равен:

$N = \frac{2(x^2+\sqrt{x^4-1})}{x^{2/3}}$

Теперь упростим знаменатель $D$:

$D = \sqrt[3]{x^{-2}}(x^2+\sqrt{x^4-1}) = x^{-2/3}(x^2+\sqrt{x^4-1}) = \frac{x^2+\sqrt{x^4-1}}{x^{2/3}}$

Найдем значение всего выражения $E = \frac{N}{D}$:

$E = \frac{\frac{2(x^2+\sqrt{x^4-1})}{x^{2/3}}}{\frac{x^2+\sqrt{x^4-1}}{x^{2/3}}}$

Так как $x>1$, выражение $x^2+\sqrt{x^4-1}$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь:

$E = 2$

В условии задачи требуется доказать, что выражение равно $2^{-1} = 1/2$. Однако, в результате преобразований левой части мы получили 2. Это означает, что в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка.

Ответ: Левая часть тождества равна 2, а не $2^{-1}$. Тождество в задании неверно.