Номер 116, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген өрнекті ықшамдау үшін күрделі түбірлер формуласын, дәлірек айтқанда, түбір астындағы өрнекті толық квадратқа келтіру әдісін қолданамыз. Берілген өрнек: $ \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} $.

Алдымен бірінші түбір астындағы өрнекті $ x + 2\sqrt{x-1} $ қарастырайық. Бұл өрнекті $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ формуласына сәйкестендіруге тырысайық.

Өрнектегі $x$ мүшесін $(x-1)+1$ деп жазайық. Сонда өрнек келесі түрге келеді:

$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1$

Бұл $(\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2$ түріндегі қосындының толық квадраты болып табылады. Демек,

$x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1} + 1)^2$

Енді екінші түбір астындағы өрнекті $ x - 2\sqrt{x-1} $ қарастырайық. Оны да осыған ұқсас түрлендіреміз:

$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$

Осы түрлендірулерді бастапқы өрнекке қоямыз:

$ \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} $

Кез келген $a$ саны үшін $ \sqrt{a^2} = |a| $ екенін ескеріп, өрнекті модуль арқылы жазамыз:

$ |\sqrt{x-1} + 1| - |\sqrt{x-1} - 1| $

Есептің шарты бойынша $ x \ge 2 $. Осы шарттан модульдердің таңбасын анықтайық:

Егер $ x \ge 2 $ болса, онда $ x-1 \ge 1 $.

Екі жағынан квадрат түбір алсақ: $ \sqrt{x-1} \ge \sqrt{1} $, яғни $ \sqrt{x-1} \ge 1 $.

Осыдан:

1. Бірінші модульдің ішіндегі өрнек: $\sqrt{x-1} + 1 \ge 1+1=2$. Бұл өрнек әрқашан оң, сондықтан $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.

2. Екінші модульдің ішіндегі өрнек: $\sqrt{x-1} - 1 \ge 1-1=0$. Бұл өрнек теріс емес, сондықтан $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.

Енді модульдерді ашып, өрнекті ықшамдаймыз:

$(\sqrt{x-1} + 1) - (\sqrt{x-1} - 1) = \sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}) + (1+1) = 2 $

Нәтижесінде алынған 2 мәні $x$ айнымалысына тәуелді емес тұрақты сан. Осымен дәлелдеу аяқталды.

Ответ: Өрнектің мәні 2-ге тең, яғни $x$ айнымалысына тәуелді емес.