Страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt[3]{12-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[3]{12+\sqrt{19}}$
Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{12-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[3]{12+\sqrt{19}} = \sqrt[3]{(12-\sqrt{19})(12+\sqrt{19})}$.
Выражение в скобках под корнем представляет собой формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Применим эту формулу, где $a=12$ и $b=\sqrt{19}$:
$(12-\sqrt{19})(12+\sqrt{19}) = 12^2 - (\sqrt{19})^2 = 144 - 19 = 125$.
Теперь подставим полученное значение обратно под знак корня:
$\sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: $5$.

2) $\sqrt[5]{7+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7-\sqrt{17}}$
Этот пример решается аналогично предыдущему, используя свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{7+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7-\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(7+\sqrt{17})(7-\sqrt{17})}$.
Применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{17}$:
$(7+\sqrt{17})(7-\sqrt{17}) = 7^2 - (\sqrt{17})^2 = 49 - 17 = 32$.
Подставляем результат под корень:
$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
Ответ: $2$.

3) $(2\sqrt{27} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) : \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $2\sqrt{27}$:
$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Теперь подставим упрощенное значение в скобки и приведем подобные слагаемые:
$(6\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) = (6\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) - \frac{1}{2}\sqrt{6} = 10\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6}$.
Теперь выполним деление полученного выражения на $\frac{1}{2}\sqrt{3}$. Разделим каждый член в скобках на делитель:
$(10\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6}) : \frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} - \frac{\frac{1}{2}\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}$.
Вычислим каждое частное по отдельности:
$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = 10 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$.
$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.
Объединяем результаты:
$20 - \sqrt{2}$.
Ответ: $20 - \sqrt{2}$.

4) $(5\sqrt{8} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 2\sqrt{18}) : \frac{1}{3}\sqrt{2}$
Сначала упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней:
$5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 \cdot 2} = 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Подставим упрощенные значения в скобки и приведем подобные слагаемые:
$(10\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 6\sqrt{2}) = (10\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) - \frac{1}{3}\sqrt{10} = 4\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10}$.
Теперь выполним деление полученного выражения на $\frac{1}{3}\sqrt{2}$:
$(4\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10}) : \frac{1}{3}\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} - \frac{\frac{1}{3}\sqrt{10}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}}$.
Вычислим каждое частное:
$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12$.
$\frac{\frac{1}{3}\sqrt{10}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}$.
Объединяем результаты:
$12 - \sqrt{5}$.
Ответ: $12 - \sqrt{5}$.

Для упрощения выражения $ \sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}} $ воспользуемся методом выделения полного квадрата подкоренного выражения.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $ a - 1 \ge 0 $, откуда $ a \ge 1 $. Также должны быть неотрицательными и сами подкоренные выражения, что мы проверим далее.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $ a + 2\sqrt{a - 1} $. Представим $ a $ как $ (a - 1) + 1 $:
$ (a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1 = (\sqrt{a - 1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a - 1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a - 1} + 1)^2 $.
Это выражение всегда неотрицательно, так как является полным квадратом.

Рассмотрим второе подкоренное выражение: $ a - 2\sqrt{a - 1} $. Аналогично, представим $ a $ как $ (a - 1) + 1 $:
$ (a - 1) - 2\sqrt{a - 1} + 1 = (\sqrt{a - 1})^2 - 2 \cdot \sqrt{a - 1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a - 1} - 1)^2 $.
Это выражение также всегда неотрицательно. Таким образом, ОДЗ для всего выражения: $ a \ge 1 $.

Теперь подставим полученные полные квадраты в исходное выражение:
$ \sqrt{(\sqrt{a - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a - 1} - 1)^2} $

Используя свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $, получаем:
$ |\sqrt{a - 1} + 1| + |\sqrt{a - 1} - 1| $

Поскольку при $ a \ge 1 $ корень $ \sqrt{a - 1} \ge 0 $, то сумма $ \sqrt{a - 1} + 1 $ всегда положительна. Следовательно, первый модуль раскрывается однозначно:
$ |\sqrt{a - 1} + 1| = \sqrt{a - 1} + 1 $.
Выражение принимает вид:
$ \sqrt{a - 1} + 1 + |\sqrt{a - 1} - 1| $

Для раскрытия второго модуля необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения $ \sqrt{a - 1} - 1 $.

Случай 1: $ \sqrt{a - 1} - 1 \ge 0 $
Это неравенство выполняется при $ \sqrt{a - 1} \ge 1 $, то есть $ a - 1 \ge 1 $, или $ a \ge 2 $. В этом случае $ |\sqrt{a - 1} - 1| = \sqrt{a - 1} - 1 $.
Выражение становится равным:
$ (\sqrt{a - 1} + 1) + (\sqrt{a - 1} - 1) = \sqrt{a - 1} + 1 + \sqrt{a - 1} - 1 = 2\sqrt{a - 1} $.

Случай 2: $ \sqrt{a - 1} - 1 < 0 $
Это неравенство выполняется при $ \sqrt{a - 1} < 1 $, то есть $ a - 1 < 1 $, или $ a < 2 $. С учетом ОДЗ ($ a \ge 1 $), этот случай соответствует интервалу $ 1 \le a < 2 $. В этом случае $ |\sqrt{a - 1} - 1| = -(\sqrt{a - 1} - 1) = 1 - \sqrt{a - 1} $.
Выражение становится равным:
$ (\sqrt{a - 1} + 1) + (1 - \sqrt{a - 1}) = \sqrt{a - 1} + 1 + 1 - \sqrt{a - 1} = 2 $.

Таким образом, значение выражения зависит от значения $ a $.

Ответ: $ \begin{cases} 2\sqrt{a - 1}, & \text{при } a \ge 2 \\ 2, & \text{при } 1 \le a < 2 \end{cases} $

Берілген өрнекті ықшамдау үшін күрделі түбірлер формуласын, дәлірек айтқанда, түбір астындағы өрнекті толық квадратқа келтіру әдісін қолданамыз. Берілген өрнек: $ \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} $.

Алдымен бірінші түбір астындағы өрнекті $ x + 2\sqrt{x-1} $ қарастырайық. Бұл өрнекті $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ формуласына сәйкестендіруге тырысайық.

Өрнектегі $x$ мүшесін $(x-1)+1$ деп жазайық. Сонда өрнек келесі түрге келеді:

$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1$

Бұл $(\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2$ түріндегі қосындының толық квадраты болып табылады. Демек,

$x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1} + 1)^2$

Енді екінші түбір астындағы өрнекті $ x - 2\sqrt{x-1} $ қарастырайық. Оны да осыған ұқсас түрлендіреміз:

$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$

Осы түрлендірулерді бастапқы өрнекке қоямыз:

$ \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} $

Кез келген $a$ саны үшін $ \sqrt{a^2} = |a| $ екенін ескеріп, өрнекті модуль арқылы жазамыз:

$ |\sqrt{x-1} + 1| - |\sqrt{x-1} - 1| $

Есептің шарты бойынша $ x \ge 2 $. Осы шарттан модульдердің таңбасын анықтайық:

Егер $ x \ge 2 $ болса, онда $ x-1 \ge 1 $.

Екі жағынан квадрат түбір алсақ: $ \sqrt{x-1} \ge \sqrt{1} $, яғни $ \sqrt{x-1} \ge 1 $.

Осыдан:

1. Бірінші модульдің ішіндегі өрнек: $\sqrt{x-1} + 1 \ge 1+1=2$. Бұл өрнек әрқашан оң, сондықтан $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.

2. Екінші модульдің ішіндегі өрнек: $\sqrt{x-1} - 1 \ge 1-1=0$. Бұл өрнек теріс емес, сондықтан $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.

Енді модульдерді ашып, өрнекті ықшамдаймыз:

$(\sqrt{x-1} + 1) - (\sqrt{x-1} - 1) = \sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}) + (1+1) = 2 $

Нәтижесінде алынған 2 мәні $x$ айнымалысына тәуелді емес тұрақты сан. Осымен дәлелдеу аяқталды.

Ответ: Өрнектің мәні 2-ге тең, яғни $x$ айнымалысына тәуелді емес.

1) Для доказательства тождества при $a \ge 2$ преобразуем его левую часть. Пусть $L$ - левая часть равенства:

$L = \sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}}$

Возведем обе части в квадрат. Так как $a \ge 2$, то $a^2 \ge 4$, и все подкоренные выражения неотрицательны, поэтому $L \ge 0$.

$L^2 = \left( \sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} + \sqrt{\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}} \right)^2$

Используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, получаем:

$L^2 = \left(\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right) + 2\sqrt{\left(\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right)\left(\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right)} + \left(\sqrt{a} - \sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right)$

Упрощаем выражение:

$L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{(\sqrt{a})^2 - \left(\sqrt{\frac{a^2-4}{a}}\right)^2}$

$L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{a - \frac{a^2-4}{a}}$

Преобразуем выражение под вторым корнем:

$a - \frac{a^2-4}{a} = \frac{a^2 - (a^2-4)}{a} = \frac{a^2 - a^2 + 4}{a} = \frac{4}{a}$

Подставляем обратно в выражение для $L^2$:

$L^2 = 2\sqrt{a} + 2\sqrt{\frac{4}{a}} = 2\sqrt{a} + 2\frac{2}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} + \frac{4}{\sqrt{a}}$

Приводим к общему знаменателю:

$L^2 = \frac{2\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}} = \frac{2a+4}{\sqrt{a}}$

Теперь извлечем квадратный корень из $L^2$, чтобы найти $L$:

$L = \sqrt{\frac{2a+4}{\sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt{\sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{2a+4}}{\sqrt[4]{a}}$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества при $x > 1$ преобразуем его левую часть. Обозначим ее через $E$.

$E = \frac{\left(\sqrt[3]{(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} + \sqrt[3]{(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\right)^2}{\sqrt[3]{x^{-2}}(x^2 + \sqrt{x^4-1})}$

Упростим числитель. Сначала преобразуем выражения под знаками кубических корней.

Для первого слагаемого в скобках:

$(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = (x^2+1)\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = (x^2+1)\frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|} = (x^2+1)\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}$ (так как $x > 1$)

Тогда $\sqrt[3]{(x^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \sqrt[3]{\frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}} = \frac{(x^2+1)^{1/2}}{x^{1/3}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[3]{x}}$.

Для второго слагаемого в скобках:

$(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} = (x^2-1)\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}} = (x^2-1)\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|} = (x^2-1)\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} = \frac{(x^2-1)^{3/2}}{x}$ (так как $x > 1$)

Тогда $\sqrt[3]{(x^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \sqrt[3]{\frac{(x^2-1)^{3/2}}{x}} = \frac{(x^2-1)^{1/2}}{x^{1/3}} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}}$.

Теперь подставим упрощенные выражения в числитель $N$:

$N = \left(\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{x}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})^2}{x^{2/3}}$

Раскроем квадрат в числителе дроби:

$(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})^2 = (x^2+1) + (x^2-1) + 2\sqrt{(x^2+1)(x^2-1)} = 2x^2 + 2\sqrt{x^4-1} = 2(x^2+\sqrt{x^4-1})$

Итак, числитель равен:

$N = \frac{2(x^2+\sqrt{x^4-1})}{x^{2/3}}$

Теперь упростим знаменатель $D$:

$D = \sqrt[3]{x^{-2}}(x^2+\sqrt{x^4-1}) = x^{-2/3}(x^2+\sqrt{x^4-1}) = \frac{x^2+\sqrt{x^4-1}}{x^{2/3}}$

Найдем значение всего выражения $E = \frac{N}{D}$:

$E = \frac{\frac{2(x^2+\sqrt{x^4-1})}{x^{2/3}}}{\frac{x^2+\sqrt{x^4-1}}{x^{2/3}}}$

Так как $x>1$, выражение $x^2+\sqrt{x^4-1}$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь:

$E = 2$

В условии задачи требуется доказать, что выражение равно $2^{-1} = 1/2$. Однако, в результате преобразований левой части мы получили 2. Это означает, что в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка.

Ответ: Левая часть тождества равна 2, а не $2^{-1}$. Тождество в задании неверно.

Берілген өрнекті ықшамдау үшін оны кезең-кезеңмен түрлендіреміз. Алдымен айнымалылардың мүмкін мәндер аймағын (ММА) анықтайық: түбірлер мен бөлшектердің мағынасы болуы үшін $x > 0$, $y \ge 0$ және $x \neq y$ шарттары орындалуы керек.

Бастапқы өрнек:

$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} - \left( \frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}} - \sqrt[4]{xy} \right) \cdot \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} $

1. Бірінші мүшені ықшамдау:

$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} $

Бұл жерде $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ және $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2$ екенін ескеріп, квадраттар айырымының формуласын $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ қолданамыз:

$ \frac{(\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} = \frac{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y} $

2. Жақша ішіндегі өрнекті ықшамдау:

$ \left( \frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}} - \sqrt[4]{xy} \right) $

Алдымен бөлшекті түрлендіреміз. Алымынан және бөлімінен ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз:

$ \frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}} = \frac{\sqrt[4]{x}((\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{y})^3)}{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})} = \frac{(\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{y})^3}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}} $

Кубтар қосындысының формуласын $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ пайдаланып:

$ \frac{(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})((\sqrt[4]{x})^2 - \sqrt[4]{xy} + (\sqrt[4]{y})^2)}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}} = \sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y} $

Енді осы нәтижені жақша ішіндегі өрнекке қоямыз:

$ (\sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}) - \sqrt[4]{xy} = \sqrt{x} - 2\sqrt[4]{xy} + \sqrt{y} $

Бұл өрнек екімүшенің толық квадраты болып табылады:

$ (\sqrt[4]{x})^2 - 2\sqrt[4]{x}\sqrt[4]{y} + (\sqrt[4]{y})^2 = (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})^2 $

3. Екінші көбейткішті ықшамдау:

$ \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{(\sqrt[4]{x})^2-(\sqrt[4]{y})^2} = \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} $

4. Барлық бөліктерді біріктіру:

Ықшамдалған бөліктерді бастапқы өрнекке қоямыз:

$ (\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}) - (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} $

$ = (\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}) - (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) $

$ = \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y} - \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} $

$ = 2\sqrt[4]{y} $

Қорытынды:

Нәтижесінде $2\sqrt[4]{y}$ өрнегін алдық. Енді есептің шарттарын тексерейік:

1.Өрнектің мәні теріс емес. ММА бойынша $y \ge 0$. Жұп дәрежелі түбірдің мәні әрқашан теріс емес, яғни $\sqrt[4]{y} \ge 0$. Демек, $2\sqrt[4]{y}$ өрнегі де теріс емес ($ \ge 0 $).

2.Өрнектің мәні $x$ айнымалысына тәуелді емес. Ықшамдалған өрнек $2\sqrt[4]{y}$ құрамында $x$ айнымалысы жоқ. Сондықтан оның мәні $x$-ке тәуелді емес.

Осылайша, берілген өрнектің мәні айнымалылардың кез келген мүмкін мәндерінде теріс емес және $x$ айнымалысына тәуелді болмайтыны дәлелденді.

Ответ: Өрнекті ықшамдау нәтижесінде $2\sqrt[4]{y}$ алынады. Айнымалылардың мүмкін мәндер аймағында ($x > 0, y \ge 0, x \neq y$) бұл өрнектің мәні теріс емес, себебі $\sqrt[4]{y} \ge 0$. Сонымен қатар, алынған нәтиже $x$ айнымалысына тәуелді емес. Осылайша, есептің шарттары дәлелденді.

1) $(\frac{2\sqrt{x}}{x^2})^{-3} - ((x\sqrt{x})^{-1})^{-\frac{1}{2}} + \sqrt{\sqrt{x^3}}$

Упростим каждый член выражения по отдельности. Для этого представим корни в виде степеней с дробными показателями.

Первый член: $(\frac{2\sqrt{x}}{x^2})^{-3} = (\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x^2})^{-3} = (2x^{\frac{1}{2}-2})^{-3} = (2x^{-\frac{3}{2}})^{-3} = 2^{-3} \cdot (x^{-\frac{3}{2}})^{-3} = \frac{1}{8}x^{(-\frac{3}{2}) \cdot (-3)} = \frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}}$.

Второй член: $-((x\sqrt{x})^{-1})^{-\frac{1}{2}} = -((x \cdot x^{\frac{1}{2}})^{-1})^{-\frac{1}{2}} = -((x^{\frac{3}{2}})^{-1})^{-\frac{1}{2}} = -(x^{-\frac{3}{2}})^{-\frac{1}{2}} = -x^{(-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{1}{2})} = -x^{\frac{3}{4}}$.

Третий член: $\sqrt{\sqrt{x^3}} = \sqrt{(x^3)^{\frac{1}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$.

Теперь объединим все упрощенные члены:

$\frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}} - x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}}$

2) $[(\sqrt[3]{x})^{-\frac{1}{2}}]^{\frac{6}{5}} - [(\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{-\frac{4}{3}}]^{-\frac{3}{5}}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Первое слагаемое: $[(\sqrt[3]{x})^{-\frac{1}{2}}]^{\frac{6}{5}} = [(x^{\frac{1}{3}})^{-\frac{1}{2}}]^{\frac{6}{5}} = [x^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{2})}]^{\frac{6}{5}} = (x^{-\frac{1}{6}})^{\frac{6}{5}} = x^{-\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5}} = x^{-\frac{1}{5}}$.

Второе слагаемое: $- [(\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{-\frac{4}{3}}]^{-\frac{3}{5}} = - [(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})^{-\frac{4}{3}}]^{-\frac{3}{5}} = - [(x^{-\frac{1}{4}})^{-\frac{4}{3}}]^{-\frac{3}{5}} = - [x^{(-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{4}{3})}]^{-\frac{3}{5}} = - (x^{\frac{1}{3}})^{-\frac{3}{5}} = -x^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{5})} = -x^{-\frac{1}{5}}$.

Теперь вычтем второе слагаемое из первого:

$x^{-\frac{1}{5}} - x^{-\frac{1}{5}} = 0$.

Ответ: $0$

3) $(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}})^{-\frac{4}{5}} - (\sqrt[3]{x^2 \sqrt{x^3}})^{\frac{6}{7}}$

Упростим каждый член выражения по отдельности.

Первый член: $(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}})^{-\frac{4}{5}} = (\frac{x^2}{x^{\frac{3}{4}}})^{-\frac{4}{5}} = (x^{2-\frac{3}{4}})^{-\frac{4}{5}} = (x^{\frac{5}{4}})^{-\frac{4}{5}} = x^{\frac{5}{4} \cdot (-\frac{4}{5})} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Второй член: $-(\sqrt[3]{x^2 \sqrt{x^3}})^{\frac{6}{7}} = -(\sqrt[3]{x^2 \cdot x^{\frac{3}{2}}})^{\frac{6}{7}} = -(\sqrt[3]{x^{2+\frac{3}{2}}})^{\frac{6}{7}} = -(\sqrt[3]{x^{\frac{7}{2}}})^{\frac{6}{7}} = -((x^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{6}{7}} = -(x^{\frac{7}{6}})^{\frac{6}{7}} = -x^{\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7}} = -x$.

Объединим упрощенные члены:

$\frac{1}{x} - x$.

Ответ: $\frac{1}{x} - x$

4) $\sqrt{1+(\frac{x^2-1}{2x})^2} : ((x^2+1) \cdot \frac{1}{x})$

Упростим выражение по частям. Сначала упростим делимое (выражение под корнем):

$1+(\frac{x^2-1}{2x})^2 = 1 + \frac{(x^2-1)^2}{(2x)^2} = \frac{4x^2}{4x^2} + \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{4x^2} = \frac{4x^2 + x^4 - 2x^2 + 1}{4x^2} = \frac{x^4 + 2x^2 + 1}{4x^2} = \frac{(x^2+1)^2}{(2x)^2}$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{(x^2+1)^2}{(2x)^2}} = |\frac{x^2+1}{2x}| = \frac{x^2+1}{|2x|}$, так как $x^2+1$ всегда положительно.

Теперь упростим делитель:

$(x^2+1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x}$.

Выполним деление. Выражение определено при $x \neq 0$.

$\frac{x^2+1}{|2x|} : \frac{x^2+1}{x} = \frac{x^2+1}{|2x|} \cdot \frac{x}{x^2+1} = \frac{x}{|2x|}$.

Рассмотрим два случая. Если $x > 0$, то $|2x|=2x$ и выражение равно $\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$. Если $x < 0$, то $|2x|=-2x$ и выражение равно $\frac{x}{-2x}=-\frac{1}{2}$.

Так как в остальных заданиях этого номера из-за наличия корней четной степени от $x$ (например, $\sqrt{x}$, $\sqrt[4]{x}$) подразумевается, что $x>0$, то и в этом задании будем считать $x>0$.

Ответ: $\frac{1}{2}$