Страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{4}{3} \\x \cdot y = 9\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x > 0, y > 0$, так как переменные находятся под знаком квадратного корня и в знаменателе.

Из второго уравнения системы $x \cdot y = 9$, так как $x$ и $y$ положительные, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{9}$, что дает нам $\sqrt{x}\sqrt{y} = 3$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{4}{3}$

Подставим в знаменатель полученное ранее значение $\sqrt{x}\sqrt{y} = 3$:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{3} = \frac{4}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases}\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\\sqrt{x}\sqrt{y} = 3\end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases}a + b = 4 \\a \cdot b = 3\end{cases}$

По обратной теореме Виета, переменные $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставив наши значения, получаем:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это уравнение. Его можно легко разложить на множители: $(t-1)(t-3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Таким образом, для пары $(a, b)$ есть два возможных варианта: $(1, 3)$ или $(3, 1)$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $a = 1$ и $b = 3$.

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$.

$\sqrt{y} = 3 \implies y = 3^2 = 9$.

Получаем первое решение: $(1, 9)$.

Случай 2: $a = 3$ и $b = 1$.

$\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

$\sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1$.

Получаем второе решение: $(9, 1)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 9), (9, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\x + y = 10\end{cases}$

ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x, y > 0$, то и $t > 0$.

Тогда второе слагаемое можно выразить как $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}} = \frac{1}{t}$.

После подстановки первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (это можно сделать, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дробей:

$2t \cdot t + 2t \cdot \frac{1}{t} = 2t \cdot \frac{5}{2}$

$2t^2 + 2 = 5t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 2$.

$\sqrt{\frac{x}{y}} = 2$

Возводим обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $x + y = 10$:

$4y + y = 10 \implies 5y = 10 \implies y = 2$.

Теперь находим $x$: $x = 4y = 4 \cdot 2 = 8$.

Получаем первое решение: $(8, 2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$.

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}$

Возводим обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$, откуда $y = 4x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 10$:

$x + 4x = 10 \implies 5x = 10 \implies x = 2$.

Теперь находим $y$: $y = 4x = 4 \cdot 2 = 8$.

Получаем второе решение: $(2, 8)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(8, 2), (2, 8)$.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} + \sqrt{\frac{y+2}{2x-1}} = 2, \\ x + y = 12. \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) первого уравнения определяется условием $\frac{2x-1}{y+2} > 0$. Это означает, что выражения $2x-1$ и $y+2$ должны быть одного знака (оба больше нуля или оба меньше нуля).

Введем замену в первом уравнении. Пусть $t = \sqrt{\frac{2x-1}{y+2}}$. Так как корень арифметический, то $t > 0$. Тогда первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt{\frac{2x-1}{y+2}} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{2x-1}{y+2} = 1$

$2x-1 = y+2$

$2x - y = 3$

Теперь исходная система эквивалентна системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 3, \\ x + y = 12. \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y$:

$(2x - y) + (x + y) = 3 + 12$

$3x = 15$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы $x+y=12$:

$5 + y = 12$

$y = 7$

Получили решение $(5; 7)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ.

$2x-1 = 2(5) - 1 = 9 > 0$

$y+2 = 7 + 2 = 9 > 0$

Так как оба выражения положительны, их отношение положительно, и решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(5; 7)$

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2}, \\ xy - x - y = 0. \end{cases} $

ОДЗ первого уравнения: $\frac{6x}{x+y} > 0$. Это означает, что $x$ и $x+y$ должны быть одного знака.

Введем замену в первом уравнении. Пусть $t = \sqrt{\frac{6x}{x+y}}$. Тогда $t > 0$, и уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (так как $t \neq 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительны, поэтому рассматриваем два случая.

Преобразуем второе уравнение системы для удобства:

$xy - x - y = 0$

$xy - x - y + 1 = 1$

$(x-1)(y-1) = 1$

Случай 1: $t = 2$

$\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = 2 \implies \frac{6x}{x+y} = 4 \implies 6x = 4(x+y) \implies 6x = 4x + 4y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$.

Подставим $x=2y$ в преобразованное второе уравнение:

$(2y - 1)(y - 1) = 1$

$2y^2 - 2y - y + 1 = 1$

$2y^2 - 3y = 0$

$y(2y - 3) = 0$

Отсюда $y=0$ или $y=\frac{3}{2}$.

Если $y=0$, то $x = 2 \cdot 0 = 0$. Пара $(0; 0)$ не входит в ОДЗ, так как знаменатель $x+y$ обращается в ноль.

Если $y=\frac{3}{2}$, то $x = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Проверим пару $(3; \frac{3}{2})$ по ОДЗ: $x=3 > 0$, $x+y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} > 0$. Условие ОДЗ выполнено. Это решение.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$

$\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{6x}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 24x = x+y \implies y = 23x$.

Подставим $y=23x$ в преобразованное второе уравнение:

$(x - 1)(23x - 1) = 1$

$23x^2 - x - 23x + 1 = 1$

$23x^2 - 24x = 0$

$x(23x - 24) = 0$

Отсюда $x=0$ или $x=\frac{24}{23}$.

Если $x=0$, то $y = 23 \cdot 0 = 0$. Как и в первом случае, пара $(0; 0)$ не является решением.

Если $x=\frac{24}{23}$, то $y = 23 \cdot \frac{24}{23} = 24$. Проверим пару $(\frac{24}{23}; 24)$ по ОДЗ: $x=\frac{24}{23} > 0$, $x+y = \frac{24}{23} + 24 > 0$. Условие ОДЗ выполнено. Это решение.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3; \frac{3}{2})$, $(\frac{24}{23}; 24)$

Мәндес теңдеулер — шешімдер жиыны бірдей болатын теңдеулер. Әрбір жұпты тексеріп көрейік.

1) Теңдеулер жұбын қарастырайық: $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = 2$ (1-теңдеу) және $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} = 2$ (2-теңдеу).

Бірінші теңдеудің анықталу облысын (ММЖ) табайық. Түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек:

$\frac{x-1}{x+1} \ge 0$

Бұл теңсіздікті интервалдар әдісімен шешсек, оның шешімі $x \in (-\infty, -1) \cup [1, \infty)$ болады. Бұл 1-теңдеудің ММЖ-сы.

Енді теңдеуді шешеміз. Екі жағын да квадраттаймыз:

$\frac{x-1}{x+1} = 4 \Rightarrow x-1 = 4(x+1) \Rightarrow x-1 = 4x+4 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$.

Бұл мән $(-\frac{5}{3} \approx -1.67)$ анықталу облысына жатады. Демек, бірінші теңдеудің шешімдер жиыны: $\{-\frac{5}{3}\}$.

Екінші теңдеудің ММЖ-сын табайық:

$\sqrt{x-1}$ үшін $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

$\sqrt{x+1}$ үшін $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.

Екі шарттың қиылысуы $x \ge 1$ береді. Екінші теңдеудің ММЖ-сы: $[1, \infty)$.

Екінші теңдеуді шешсек, ол да $\frac{x-1}{x+1} = 4$ теңдеуіне, яғни $x = -\frac{5}{3}$ шешіміне әкеледі. Алайда, бұл мән екінші теңдеудің анықталу облысына ($[1, \infty)$) кірмейді. Сондықтан, екінші теңдеудің шешімі жоқ. Оның шешімдер жиыны: $\emptyset$.

Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-\frac{5}{3}\}$, ал екіншісінікі $\emptyset$. Шешімдер жиыны әртүрлі болғандықтан, бұл теңдеулер мәндес емес.

Ответ: Теңдеулер мәндес емес.

2) Теңдеулер жұбын қарастырайық: $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$ (1-теңдеу) және $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-1} = 4$ (2-теңдеу).

Бірінші теңдеудің ММЖ-сы: $x^2 - 3x + 2 \ge 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) \ge 0$. Бұдан $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Теңдеуді шешеміз: $x^2 - 3x + 2 = 16 \Rightarrow x^2 - 3x - 14 = 0$.

Квадрат теңдеудің түбірлері: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(-14)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$.

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{65}}{2} \approx 5.53$ және $x_2 = \frac{3 - \sqrt{65}}{2} \approx -2.53$. Екі түбір де ММЖ-ға тиісті. Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны: $\{\frac{3 + \sqrt{65}}{2}, \frac{3 - \sqrt{65}}{2}\}$.

Екінші теңдеудің ММЖ-сы: $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$ және $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Екі шарттың қиылысуы: $x \ge 2$.

Екінші теңдеуді шешеміз. $x \ge 2$ болғанда $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-1} = \sqrt{(x-2)(x-1)} = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ деп жазуға болады. Теңдеу $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = 4$ түріне келеді. Оның шешімдері $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}$.

Бұл шешімдерді екінші теңдеудің ММЖ-сымен ($x \ge 2$) тексереміз:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{65}}{2}$ түбірі $x \ge 2$ шартын қанағаттандырады.

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{65}}{2}$ түбірі $x \ge 2$ шартын қанағаттандырмайды, сондықтан бұл бөгде түбір.

Екінші теңдеудің шешімдер жиыны: $\{\frac{3 + \sqrt{65}}{2}\}$.

Теңдеулердің шешімдер жиыны әртүрлі. Сондықтан олар мәндес емес.

Ответ: Теңдеулер мәндес емес.

3) Теңдеулер жұбын қарастырайық: $\sqrt{x-5} = x$ (1-теңдеу) және $x-5 = x^2$ (2-теңдеу).

Бірінші теңдеудің ММЖ-сы: $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$ және $x \ge 0$. Екі шарттың қиылысуы: $x \ge 5$.

Теңдеуді шешу үшін екі жағын да квадраттаймыз: $x-5 = x^2 \Rightarrow x^2 - x + 5 = 0$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(5) = 1 - 20 = -19$.

$D < 0$ болғандықтан, квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны бос жиын: $\emptyset$.

Екінші теңдеу: $x-5 = x^2$, яғни $x^2 - x + 5 = 0$. Бұл теңдеудің анықталу облысы барлық нақты сандар. Біз оның нақты түбірлері жоқ екенін анықтадық. Екінші теңдеудің де шешімдер жиыны бос жиын: $\emptyset$.

Екі теңдеудің де шешімдер жиыны бірдей (бос жиын). Демек, теңдеулер мәндес.

Ответ: Теңдеулер мәндес.

4) Теңдеулер жұбын қарастырайық: $\sqrt[3]{2x+1} = x$ (1-теңдеу) және $2x+1 = x^3$ (2-теңдеу).

Бірінші теңдеудің ММЖ-сы барлық нақты сандар жиыны ($x \in \mathbb{R}$), себебі тек дәрежелі түбірдің астындағы өрнек кез келген мәнді қабылдай алады.

Бірінші теңдеудің екі жағын да үшінші дәрежеге шығарамыз:

$(\sqrt[3]{2x+1})^3 = x^3 \Rightarrow 2x+1 = x^3$.

Бұл екінші теңдеумен толығымен бірдей. Теңдеудің екі жағын да тақ дәрежеге шығару — мәндес түрлендіру. Ол бөгде түбірлердің пайда болуына немесе түбірлердің жоғалуына әкелмейді. Демек, $\sqrt[3]{A(x)} = B(x)$ теңдеуі $A(x) = (B(x))^3$ теңдеуіне мәндес.

Сондықтан, берілген теңдеулер жұбы мәндес болып табылады. Екі теңдеудің де шешімдер жиыны $x^3 - 2x - 1 = 0$ теңдеуінің шешімдерімен бірдей болады, олар: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Теңдеулер мәндес.