Страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Иррационал теңдеуді шешу барысында қандай теңдеулер шығарылуы мүмкін?

Иррационалды теңдеуді шешудің негізгі әдісі — теңдеудің екі жағын да түбірдің дәрежесіне тең дәрежеге шығару арқылы иррационалдықтан арылу. Бұл түрлендірудің нәтижесінде, әдетте, рационал теңдеу пайда болады. Бастапқы теңдеудің күрделілігіне байланысты келесідей теңдеулердің түрлері шығуы мүмкін:

• Сызықтық теңдеулер: Айнымалы бірінші дәрежеде болатын теңдеулер. Мысалы, $\sqrt{x - 2} = 3$ теңдеуін шешкенде, екі жағын квадраттағаннан кейін $x - 2 = 9$ деген сызықтық теңдеу аламыз, оның шешімі $x = 11$.
• Квадраттық теңдеулер: Айнымалы екінші дәрежеде болатын теңдеулер. Мысалы, $\sqrt{x + 7} = x + 1$ теңдеуінде екі жағын квадраттасақ, $x + 7 = (x + 1)^2$ болады, бұл $x^2 + x - 6 = 0$ квадраттық теңдеуіне әкеледі.
• Жоғары дәрежелі теңдеулер: Айнымалының дәрежесі екіден жоғары болатын теңдеулер (кубтық, биквадраттық және т.б.). Мысалы, $\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 5} = x$ теңдеуін кубтағанда, $x^3 + x^2 - 5 = x^3$, яғни $x^2 - 5 = 0$ теңдеуі шығады.

Сонымен, иррационал теңдеуді шешу процесінде оны рационал теңдеуге (көбінесе бүтін рационал, яғни көпмүшелік теңдеуге) келтіреміз.

Ответ: Иррационал теңдеуді шешу барысында сызықтық, квадраттық немесе одан да жоғары дәрежелі көпмүшелік теңдеулер сияқты рационал теңдеулер шығарылуы мүмкін.

2. Иррационал теңдеулерді шешу кезінде неліктен айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынына назар аударылады?

Иррационал теңдеулерді шешу кезінде айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынына (ММЖ) назар аудару өте маңызды, себебі бұл екі негізгі мәселенің алдын алады:

1.Түбір астындағы өрнектің анықталу облысы. Жұп дәрежелі түбірдің (мысалы, квадрат түбір) астындағы өрнек теріс емес болуы керек. Мысалы, $\sqrt{f(x)}$ өрнегі тек $f(x) \ge 0$ болғанда ғана анықталады. Егер табылған шешім осы шартты қанағаттандырмаса, ол теңдеудің түбірі бола алмайды. Сонымен қатар, $\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)$ түріндегі теңдеуде арифметикалық түбірдің мәні теріс емес болғандықтан, $g(x) \ge 0$ шарты да орындалуы тиіс.

2.Бөгде түбірлердің пайда болуы. Иррационал теңдеулерді шешу үшін жиі қолданылатын әдіс — теңдеудің екі жағын да жұп дәрежеге шығару. Бұл амал мәндес емес түрлендіру болып табылады. Яғни, $A = B$ теңдеуінен $A^2 = B^2$ теңдеуі шығады, бірақ керісінше дұрыс емес. $A^2 = B^2$ теңдеуі $A = B$ және $A = -B$ теңдеулерінің жиынтығына мәндес. Сондықтан, дәрежеге шығарғаннан кейін пайда болған теңдеудің түбірлерінің ішінде бастапқы теңдеуді қанағаттандырмайтын "бөгде" түбірлер болуы мүмкін.

Мысал қарастырайық: $\sqrt{x + 3} = x + 1$.
ММЖ шарттары: $x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$ және $x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Демек, $x \ge -1$.
Теңдеудің екі жағын квадраттаймыз: $x + 3 = (x + 1)^2 \Rightarrow x + 3 = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$.
Бұл квадраттық теңдеудің түбірлері: $x_1 = 1$ және $x_2 = -2$.
Енді табылған түбірлерді ММЖ ($x \ge -1$) шартымен тексереміз:
- $x_1 = 1$ шартын қанағаттандырады ($1 \ge -1$), сондықтан бұл — нақты түбір.
- $x_2 = -2$ шартын қанағаттандырмайды ($-2 < -1$), сондықтан бұл — бөгде түбір.

Осы себептерге байланысты иррационал теңдеулерді шешкенде табылған түбірлерді міндетті түрде не ММЖ арқылы, не бастапқы теңдеуге қойып тексеру қажет.

Ответ: Айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынына назар аудару керек, өйткені жұп дәрежелі түбір астындағы өрнек теріс болмауы тиіс және теңдеудің екі жағын жұп дәрежеге шығарғанда бастапқы теңдеуді қанағаттандырмайтын бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін. ММЖ бөгде түбірлерді анықтап, оларды нақты шешімдерден ажыратуға көмектеседі.

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Для нахождения решения возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x = 9$ ОДЗ. Условие $9 \ge 0$ выполняется.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{9} = 3$, что является верным равенством.
Ответ: 9.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x - 3} = 2$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x - 3 \ge 0$, откуда следует $x \ge 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x - 3})^2 = 2^2$
$x - 3 = 4$
Перенесем -3 в правую часть:
$x = 4 + 3$
$x = 7$
Найденное значение $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ, так как $7 \ge 3$.
Проверка: подставим $x=7$ в исходное уравнение: $\sqrt{7 - 3} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.
Ответ: 7.

3) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$.
ОДЗ для данного уравнения состоит из двух условий:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, что равносильно $x \le 2$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Теперь проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($0 \le x \le 2$):
- $x_1 = 1$: корень удовлетворяет условию $0 \le 1 \le 2$.
- $x_2 = 4$: корень не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$. Это посторонний корень.
Проверим единственный подходящий корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{1} = 2 - 1$, что дает верное равенство $1 = 1$.
Ответ: 1.

4) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x - 2} = \frac{x}{3}$.
ОДЗ уравнения определяется условиями:
1. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
2. $\frac{x}{3} \ge 0 \implies x \ge 0$.
Общее ОДЗ: $x \ge 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - 2})^2 = (\frac{x}{3})^2$
$x - 2 = \frac{x^2}{9}$
Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
$9(x - 2) = x^2$
$9x - 18 = x^2$
Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 9$ и $x_1 \cdot x_2 = 18$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 6$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):
- $x_1 = 3$: удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$).
- $x_2 = 6$: удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2$).
Проведем проверку подстановкой:
- Для $x = 3$: $\sqrt{3 - 2} = \frac{3}{3} \implies \sqrt{1} = 1 \implies 1 = 1$. Верно.
- Для $x = 6$: $\sqrt{6 - 2} = \frac{6}{3} \implies \sqrt{4} = 2 \implies 2 = 2$. Верно.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: 3; 6.

1) Дано уравнение $\sqrt[3]{x+2} = 3$.

Для того чтобы решить это иррациональное уравнение, необходимо избавиться от корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x+2})^3 = 3^3$

Выполнив возведение в степень, получаем линейное уравнение:

$x+2 = 27$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 27 - 2$

$x = 25$

При возведении в нечетную степень посторонние корни не появляются, но для уверенности выполним проверку. Подставим $x=25$ в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{25+2} = \sqrt[3]{27} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $25$.

2) Дано уравнение $\sqrt[4]{x-3} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

Для решения уравнения возведем обе части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x-3})^4 = 2^4$

$x-3 = 16$

Перенесем -3 в правую часть уравнения:

$x = 16 + 3$

$x = 19$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $19 \ge 3$. Условие выполняется. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{19-3} = \sqrt[4]{16} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $19$.

3) Дано уравнение $3 + \sqrt{x+3} = x$.

Для начала уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{x+3} = x-3$

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$. Также, поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 = (x-3)^2$

$x+3 = x^2 - 6x + 9$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - x + 9 - 3 = 0$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Отсюда корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Проверим корень $x=6$ подстановкой в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{6+3} = 3 + \sqrt{9} = 3+3=6$. Правая часть $x=6$. Получаем верное равенство $6=6$.

Ответ: $6$.

4) Дано уравнение $5 + \sqrt{x+1} = x$.

Уединим радикал:

$\sqrt{x+1} = x-5$

Определим ОДЗ. Условия: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$ и $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$. Следовательно, ОДЗ для уравнения: $x \ge 5$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = (x-5)^2$

$x+1 = x^2 - 10x + 25$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, произведение равно 24. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 5$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \ge 5$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 5$.

Проверим корень $x=8$ подстановкой в исходное уравнение:

$5 + \sqrt{8+1} = 5 + \sqrt{9} = 5+3=8$. Правая часть $x=8$. Получаем верное равенство $8=8$.

Ответ: $8$.

1) $x - \sqrt{x} - 6 = 0$

Это иррациональное уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение. Поскольку $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$, получаем квадратное уравнение:

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Теперь вернемся к условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет этому условию, а корень $t_2 = -2$ — нет. Следовательно, $t_2$ является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для $t_1 = 3$:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 3^2 = 9$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 0$). $9 \ge 0$, это верно. Проверим подстановкой в исходное уравнение: $9 - \sqrt{9} - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$. Равенство верное.

Ответ: 9

2) $x + \sqrt{2x} - 4 = 0$

Это иррациональное уравнение. Уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{2x} = 4 - x$

Найдем ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Во-вторых, правая часть уравнения ($4-x$) должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $4 - x \ge 0$, откуда $x \le 4$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 4$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{2x} = 4 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{2x})^2 = (4 - x)^2$

$2x = 16 - 8x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение 16. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 4$).

Корень $x_1 = 2$ принадлежит отрезку $[0, 4]$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = 8$ не принадлежит отрезку $[0, 4]$, следовательно, является посторонним корнем.

Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение: $2 + \sqrt{2 \cdot 2} - 4 = 2 + \sqrt{4} - 4 = 2 + 2 - 4 = 0$. Равенство верное.

Ответ: 2

3) $(x^2 - 4) \cdot \sqrt{x + 5} = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 5 \ge 0$, то есть $x \ge -5$.

Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю: $x^2 - 4 = 0$. Отсюда $x^2 = 4$, что дает два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Оба этих корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -5$).

2. Второй множитель равен нулю: $\sqrt{x + 5} = 0$. Возведя в квадрат, получаем $x + 5 = 0$, откуда $x_3 = -5$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -5$).

Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: -5; -2; 2

4) $(x^2 - 9) \cdot \sqrt{x + 5} = 0$

Как и в предыдущем задании, произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

ОДЗ определяется подкоренным выражением: $x + 5 \ge 0$, то есть $x \ge -5$.

Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю: $x^2 - 9 = 0$. Отсюда $x^2 = 9$, что дает два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Проверим их по ОДЗ: $3 \ge -5$ (верно) и $-3 \ge -5$ (верно). Оба корня подходят.

2. Второй множитель равен нулю: $\sqrt{x + 5} = 0$. Возводим в квадрат: $x + 5 = 0$, откуда $x_3 = -5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -5$).

Уравнение имеет три корня.

Ответ: -5; -3; 3

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется наличием корней четной степени: $x \ge 0$.
Заметим, что $ \sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt[4]{x} $. Поскольку корень четвертой степени из неотрицательного числа не может быть отрицательным, то $ t \ge 0 $.
Подставим новую переменную в уравнение:
$ t^2 + t - 6 = 0 $.
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета или через дискриминант.
Сумма корней $ t_1 + t_2 = -1 $, произведение $ t_1 \cdot t_2 = -6 $.
Корни: $ t_1 = -3 $ и $ t_2 = 2 $.
Проверим корни с учетом условия $ t \ge 0 $.
$ t_1 = -3 $ не удовлетворяет условию $ t \ge 0 $, поэтому это посторонний корень.
$ t_2 = 2 $ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$ \sqrt[4]{x} = 2 $.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$ (\sqrt[4]{x})^4 = 2^4 $
$ x = 16 $.
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$ \sqrt{16} + \sqrt[4]{16} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 $.
$ 0 = 0 $. Равенство верное, корень найден правильно.
Ответ: 16.

2) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 2 = 0 $.
ОДЗ для $x$ определяется наличием корня шестой степени: $x \ge 0$.
Заметим, что $ \sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt[6]{x} $. Так как корень четной степени, $ t \ge 0 $.
Подставим новую переменную в уравнение:
$ t^2 + t - 2 = 0 $.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ t_1 + t_2 = -1 $, $ t_1 \cdot t_2 = -2 $.
Корни: $ t_1 = -2 $ и $ t_2 = 1 $.
Проверим корни с учетом условия $ t \ge 0 $.
$ t_1 = -2 $ не удовлетворяет условию $ t \ge 0 $.
$ t_2 = 1 $ удовлетворяет условию.
Вернемся к переменной $x$:
$ \sqrt[6]{x} = 1 $.
Возведем обе части в шестую степень:
$ (\sqrt[6]{x})^6 = 1^6 $
$ x = 1 $.
Проверим найденный корень:
$ \sqrt[3]{1} + \sqrt[6]{1} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 $.
$ 0 = 0 $. Равенство верное.
Ответ: 1.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} - 10 = 0 $.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену $ t = \sqrt[4]{x} $, где $ t \ge 0 $. Тогда $ \sqrt{x} = t^2 $.
Уравнение принимает вид:
$ t^2 - 3t - 10 = 0 $.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ t_1 + t_2 = 3 $, $ t_1 \cdot t_2 = -10 $.
Корни: $ t_1 = 5 $ и $ t_2 = -2 $.
Проверим корни с учетом условия $ t \ge 0 $.
$ t_1 = 5 $ удовлетворяет условию.
$ t_2 = -2 $ не удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену:
$ \sqrt[4]{x} = 5 $.
Возведем обе части в четвертую степень:
$ (\sqrt[4]{x})^4 = 5^4 $
$ x = 625 $.
Проверим найденный корень:
$ \sqrt{625} - 3\sqrt[4]{625} - 10 = 25 - 3 \cdot 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0 $.
$ 0 = 0 $. Равенство верное.
Ответ: 625.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x} - 18 = 0 $.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену $ t = \sqrt[6]{x} $, где $ t \ge 0 $. Тогда $ \sqrt[3]{x} = t^2 $.
Уравнение принимает вид:
$ t^2 - 3t - 18 = 0 $.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ t_1 + t_2 = 3 $, $ t_1 \cdot t_2 = -18 $.
Корни: $ t_1 = 6 $ и $ t_2 = -3 $.
Проверим корни с учетом условия $ t \ge 0 $.
$ t_1 = 6 $ удовлетворяет условию.
$ t_2 = -3 $ не удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену:
$ \sqrt[6]{x} = 6 $.
Возведем обе части в шестую степень:
$ (\sqrt[6]{x})^6 = 6^6 $
$ x = 46656 $.
Проверим найденный корень:
$ \sqrt[3]{46656} - 3\sqrt[6]{46656} - 18 = 36 - 3 \cdot 6 - 18 = 36 - 18 - 18 = 0 $.
$ 0 = 0 $. Равенство верное.
Ответ: 46656.

1) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения системы:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 3 + 1$

$2\sqrt{x} = 4$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат:

$x = 2^2 = 4$

Теперь подставим значение $\sqrt{x} = 2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$2 + \sqrt{y} = 3$

$\sqrt{y} = 3 - 2$

$\sqrt{y} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$y = 1^2 = 1$

Проверим найденное решение $(4; 1)$, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: $\sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. Верно.

Следовательно, решение системы: $x = 4$, $y = 1$.

Ответ: $(4; 1)$.

2) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x + y = 13 \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Поскольку корень квадратный не может быть отрицательным, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$.

Заменим переменные в исходной системе:

$$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 + b^2 = 13 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 5 - a$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$a^2 + (5 - a)^2 = 13$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 25 - 10a + a^2 = 13$

$2a^2 - 10a + 25 - 13 = 0$

$2a^2 - 10a + 12 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$, $x$ и $y$ для каждого корня $a$.

Случай 1: $a = 2$.

Тогда $b = 5 - a = 5 - 2 = 3$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{x} = a = 2 \implies x = 4$.

$\sqrt{y} = b = 3 \implies y = 9$.

Получили первую пару решений: $(4; 9)$.

Случай 2: $a = 3$.

Тогда $b = 5 - a = 5 - 3 = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\sqrt{x} = a = 3 \implies x = 9$.

$\sqrt{y} = b = 2 \implies y = 4$.

Получили вторую пару решений: $(9; 4)$.

Оба решения удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Проверим их, подставив в исходную систему:

Для $(4; 9)$: $\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$ (верно), $4+9=13$ (верно).

Для $(9; 4)$: $\sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$ (верно), $9+4=13$ (верно).

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(4; 9), (9; 4)$.

1) $\sqrt{x^2 + 5x + 1} + 1 = 2x$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, чтобы уединить радикал:

$\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1$

Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо выполнение следующих условий (Область допустимых значений - ОДЗ):

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x^2 + 5x + 1 \ge 0$.

2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $2x - 1 \ge 0$.

Из второго условия получаем: $2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Проверим, выполняется ли первое условие при $x \ge \frac{1}{2}$. Корни уравнения $x^2 + 5x + 1 = 0$ находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$. Парабола $y = x^2 + 5x + 1$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x + 1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}] \cup [\frac{-5 + \sqrt{21}}{2}, +\infty)$. Так как $\frac{-5 + \sqrt{21}}{2} \approx -0.21$, то условие $x \ge \frac{1}{2}$ входит в этот промежуток. Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge \frac{1}{2}$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1$ в квадрат:

$x^2 + 5x + 1 = (2x - 1)^2$

$x^2 + 5x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 9x = 0$

$3x(x - 3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{1}{2}$):

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge \frac{1}{2}$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge \frac{1}{2}$.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3^2 + 5 \cdot 3 + 1} + 1 = 2 \cdot 3$

$\sqrt{9 + 15 + 1} + 1 = 6$

$\sqrt{25} + 1 = 6$

$5 + 1 = 6$

$6 = 6$ (верно).

Ответ: 3.

2) $\sqrt{x + 2} = 2 + \sqrt{x - 6}$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

$x - 6 \ge 0 \implies x \ge 6$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны.

$(\sqrt{x + 2})^2 = (2 + \sqrt{x - 6})^2$

$x + 2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x - 6} + (\sqrt{x - 6})^2$

$x + 2 = 4 + 4\sqrt{x - 6} + x - 6$

$x + 2 = x - 2 + 4\sqrt{x - 6}$

Упростим уравнение, уединив радикал:

$2 = -2 + 4\sqrt{x - 6}$

$4 = 4\sqrt{x - 6}$

$1 = \sqrt{x - 6}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 6})^2$

$1 = x - 6$

$x = 7$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):

$x = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 6$.

Выполним проверку подстановкой $x=7$ в исходное уравнение:

$\sqrt{7 + 2} = 2 + \sqrt{7 - 6}$

$\sqrt{9} = 2 + \sqrt{1}$

$3 = 2 + 1$

$3 = 3$ (верно).

Ответ: 7.

3) $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 2 + 2}$

Упростим выражение под вторым корнем: $x - 2 + 2 = x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x}$

Найдем ОДЗ:

$3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$

$x \ge 0$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{2}{3}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 2})^2 = (\sqrt{x})^2$

$3x - 2 = x$

$2x = 2$

$x = 1$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$):

$x = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge \frac{2}{3}$.

Выполним проверку подстановкой $x=1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1}$

$\sqrt{1} = 1$

$1 = 1$ (верно).

Ответ: 1.

4) $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2$

Найдем ОДЗ:

$22 - x \ge 0 \implies x \le 22$

$10 - x \ge 0 \implies x \le 10$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \le 10$.

Перенесем один из радикалов в правую часть:

$\sqrt{22 - x} = 2 + \sqrt{10 - x}$

В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием.

$(\sqrt{22 - x})^2 = (2 + \sqrt{10 - x})^2$

$22 - x = 4 + 4\sqrt{10 - x} + (10 - x)$

$22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10 - x}$

Упростим уравнение, уединив радикал:

$22 - 14 = 4\sqrt{10 - x}$

$8 = 4\sqrt{10 - x}$

$2 = \sqrt{10 - x}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{10 - x})^2$

$4 = 10 - x$

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \le 10$):

$x = 6$ удовлетворяет условию $6 \le 10$.

Выполним проверку подстановкой $x=6$ в исходное уравнение:

$\sqrt{22 - 6} - \sqrt{10 - 6} = 2$

$\sqrt{16} - \sqrt{4} = 2$

$4 - 2 = 2$

$2 = 2$ (верно).

Ответ: 6.

1) Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x - \sqrt{x+3}} = 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Также $x - \sqrt{x+3} \ge 0$.
Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - \sqrt{x+3}})^2 = 1^2$
$x - \sqrt{x+3} = 1$
Это уравнение равносильно исходному, так как правая часть (1) положительна.
Выразим корень:
$\sqrt{x+3} = x - 1$
Для существования решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной, так как корень не может быть отрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
С учетом ОДЗ ($x \ge -3$), получаем общее условие $x \ge 1$.
Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x+3} = x - 1$ в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = (x-1)^2$
$x+3 = x^2 - 2x + 1$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$x^2 - 3x - 2 = 0$
Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge 1$.
Для $x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$: так как $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, то $4 < \sqrt{17} < 5$. Тогда $3 - \sqrt{17}$ — отрицательное число, и $x_1 < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, он посторонний.
Для $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$: так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $3+\sqrt{17} > 4$, и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} > \frac{4}{2} = 2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.

2) Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3$.
Найдем ОДЗ:
$x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$
$10-x \ge 0 \implies x \le 10$
Таким образом, ОДЗ: $5 \le x \le 10$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x})^2 = 3^2$
$(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + (10-x) = 9$
$5 + 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9$
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4$
$\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2$
Снова возведем в квадрат:
$-x^2 + 15x - 50 = 4$
$-x^2 + 15x - 54 = 0$
$x^2 - 15x + 54 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение равно 54. Легко подобрать корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.
Оба корня принадлежат ОДЗ ($5 \le x \le 10$).
Выполним проверку, подставив корни в исходное уравнение.
При $x=6$: $\sqrt{6-5} + \sqrt{10-6} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. Верно.
При $x=9$: $\sqrt{9-5} + \sqrt{10-9} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$. Верно.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x_1 = 6, x_2 = 9$.

3) Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x-9} - \sqrt{x-16} = 1$.
Найдем ОДЗ:
$x-9 \ge 0 \implies x \ge 9$
$x-16 \ge 0 \implies x \ge 16$
Общее ОДЗ: $x \ge 16$.
Перенесем один из корней в правую часть для удобства возведения в квадрат:
$\sqrt{x-9} = 1 + \sqrt{x-16}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-9})^2 = (1 + \sqrt{x-16})^2$
$x-9 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x-16} + (\sqrt{x-16})^2$
$x-9 = 1 + 2\sqrt{x-16} + x - 16$
$x-9 = x - 15 + 2\sqrt{x-16}$
Приведем подобные слагаемые:
$-9 + 15 = 2\sqrt{x-16}$
$6 = 2\sqrt{x-16}$
$3 = \sqrt{x-16}$
Возведем обе части в квадрат:
$3^2 = (\sqrt{x-16})^2$
$9 = x - 16$
$x = 9 + 16 = 25$
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. $25 \ge 16$, что является верным.
Подставим $x=25$ в исходное уравнение для проверки:
$\sqrt{25-9} - \sqrt{25-16} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$. Верно.
Ответ: $x = 25$.

4) Решим иррациональное уравнение $\sqrt{3x+1} - 2\sqrt{x+1} = 0$.
Найдем ОДЗ:
$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
Общее ОДЗ: $x \ge -1/3$.
Перенесем второе слагаемое в правую часть:
$\sqrt{3x+1} = 2\sqrt{x+1}$
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:
$(\sqrt{3x+1})^2 = (2\sqrt{x+1})^2$
$3x+1 = 4(x+1)$
$3x+1 = 4x+4$
$4x-3x = 1-4$
$x = -3$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x \ge -1/3$ для $x=-3$ не выполняется, так как $-3 < -1/3$.
Следовательно, найденное значение $x=-3$ является посторонним корнем, и уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: корней нет.