Номер 122, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $x - \sqrt{x} - 6 = 0$

Это иррациональное уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение. Поскольку $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$, получаем квадратное уравнение:

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Теперь вернемся к условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет этому условию, а корень $t_2 = -2$ — нет. Следовательно, $t_2$ является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для $t_1 = 3$:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 3^2 = 9$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 0$). $9 \ge 0$, это верно. Проверим подстановкой в исходное уравнение: $9 - \sqrt{9} - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$. Равенство верное.

Ответ: 9

2) $x + \sqrt{2x} - 4 = 0$

Это иррациональное уравнение. Уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{2x} = 4 - x$

Найдем ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Во-вторых, правая часть уравнения ($4-x$) должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $4 - x \ge 0$, откуда $x \le 4$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 4$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{2x} = 4 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{2x})^2 = (4 - x)^2$

$2x = 16 - 8x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение 16. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 4$).

Корень $x_1 = 2$ принадлежит отрезку $[0, 4]$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = 8$ не принадлежит отрезку $[0, 4]$, следовательно, является посторонним корнем.

Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение: $2 + \sqrt{2 \cdot 2} - 4 = 2 + \sqrt{4} - 4 = 2 + 2 - 4 = 0$. Равенство верное.

Ответ: 2

3) $(x^2 - 4) \cdot \sqrt{x + 5} = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 5 \ge 0$, то есть $x \ge -5$.

Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю: $x^2 - 4 = 0$. Отсюда $x^2 = 4$, что дает два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Оба этих корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -5$).

2. Второй множитель равен нулю: $\sqrt{x + 5} = 0$. Возведя в квадрат, получаем $x + 5 = 0$, откуда $x_3 = -5$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -5$).

Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: -5; -2; 2

4) $(x^2 - 9) \cdot \sqrt{x + 5} = 0$

Как и в предыдущем задании, произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

ОДЗ определяется подкоренным выражением: $x + 5 \ge 0$, то есть $x \ge -5$.

Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю: $x^2 - 9 = 0$. Отсюда $x^2 = 9$, что дает два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Проверим их по ОДЗ: $3 \ge -5$ (верно) и $-3 \ge -5$ (верно). Оба корня подходят.

2. Второй множитель равен нулю: $\sqrt{x + 5} = 0$. Возводим в квадрат: $x + 5 = 0$, откуда $x_3 = -5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -5$).

Уравнение имеет три корня.

Ответ: -5; -3; 3