Номер 123, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется наличием корней четной степени: $x \ge 0$.
Заметим, что $ \sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt[4]{x} $. Поскольку корень четвертой степени из неотрицательного числа не может быть отрицательным, то $ t \ge 0 $.
Подставим новую переменную в уравнение:
$ t^2 + t - 6 = 0 $.
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета или через дискриминант.
Сумма корней $ t_1 + t_2 = -1 $, произведение $ t_1 \cdot t_2 = -6 $.
Корни: $ t_1 = -3 $ и $ t_2 = 2 $.
Проверим корни с учетом условия $ t \ge 0 $.
$ t_1 = -3 $ не удовлетворяет условию $ t \ge 0 $, поэтому это посторонний корень.
$ t_2 = 2 $ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$ \sqrt[4]{x} = 2 $.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$ (\sqrt[4]{x})^4 = 2^4 $
$ x = 16 $.
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$ \sqrt{16} + \sqrt[4]{16} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 $.
$ 0 = 0 $. Равенство верное, корень найден правильно.
Ответ: 16.

2) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 2 = 0 $.
ОДЗ для $x$ определяется наличием корня шестой степени: $x \ge 0$.
Заметим, что $ \sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt[6]{x} $. Так как корень четной степени, $ t \ge 0 $.
Подставим новую переменную в уравнение:
$ t^2 + t - 2 = 0 $.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ t_1 + t_2 = -1 $, $ t_1 \cdot t_2 = -2 $.
Корни: $ t_1 = -2 $ и $ t_2 = 1 $.
Проверим корни с учетом условия $ t \ge 0 $.
$ t_1 = -2 $ не удовлетворяет условию $ t \ge 0 $.
$ t_2 = 1 $ удовлетворяет условию.
Вернемся к переменной $x$:
$ \sqrt[6]{x} = 1 $.
Возведем обе части в шестую степень:
$ (\sqrt[6]{x})^6 = 1^6 $
$ x = 1 $.
Проверим найденный корень:
$ \sqrt[3]{1} + \sqrt[6]{1} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 $.
$ 0 = 0 $. Равенство верное.
Ответ: 1.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} - 10 = 0 $.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену $ t = \sqrt[4]{x} $, где $ t \ge 0 $. Тогда $ \sqrt{x} = t^2 $.
Уравнение принимает вид:
$ t^2 - 3t - 10 = 0 $.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ t_1 + t_2 = 3 $, $ t_1 \cdot t_2 = -10 $.
Корни: $ t_1 = 5 $ и $ t_2 = -2 $.
Проверим корни с учетом условия $ t \ge 0 $.
$ t_1 = 5 $ удовлетворяет условию.
$ t_2 = -2 $ не удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену:
$ \sqrt[4]{x} = 5 $.
Возведем обе части в четвертую степень:
$ (\sqrt[4]{x})^4 = 5^4 $
$ x = 625 $.
Проверим найденный корень:
$ \sqrt{625} - 3\sqrt[4]{625} - 10 = 25 - 3 \cdot 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0 $.
$ 0 = 0 $. Равенство верное.
Ответ: 625.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x} - 18 = 0 $.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену $ t = \sqrt[6]{x} $, где $ t \ge 0 $. Тогда $ \sqrt[3]{x} = t^2 $.
Уравнение принимает вид:
$ t^2 - 3t - 18 = 0 $.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$ t_1 + t_2 = 3 $, $ t_1 \cdot t_2 = -18 $.
Корни: $ t_1 = 6 $ и $ t_2 = -3 $.
Проверим корни с учетом условия $ t \ge 0 $.
$ t_1 = 6 $ удовлетворяет условию.
$ t_2 = -3 $ не удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену:
$ \sqrt[6]{x} = 6 $.
Возведем обе части в шестую степень:
$ (\sqrt[6]{x})^6 = 6^6 $
$ x = 46656 $.
Проверим найденный корень:
$ \sqrt[3]{46656} - 3\sqrt[6]{46656} - 18 = 36 - 3 \cdot 6 - 18 = 36 - 18 - 18 = 0 $.
$ 0 = 0 $. Равенство верное.
Ответ: 46656.